一架飞机以 500 km/h 沿与水平方向成 30 度角的直线爬升。1.2 分钟后，它比另一架在 7 km 高度平飞的飞机高还是低？

Step-by-step solution

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   先把速度分解。 $500$ km/h 是沿航迹量出来的，并不是竖直向上的速度，所以不能直接乘时间。画出以航迹为斜边的直角三角形：竖直那条直角边是 $30^{\circ}$ 角的对边，因此竖直方向的（爬升）速度为

   $v_{y}=v\sin\theta=500\sin 30^{\circ}.$

   这里要用正弦而不是余弦：正弦把角与它的对边联系起来，而对边正是高度。

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   算出竖直速度。 因为 $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$，

   $v_{y}=500\cdot\frac{1}{2}=250\ \text{km/h}.$

   飞机只有一半的速率用在增加高度上；另一个分量 $500\cos 30^{\circ}\approx 433$ km/h 让它水平前进。

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   让时间的单位和速度的单位对上。 速度是「每小时」，而时间给的是分钟，所以相乘之前先换算：

   $t=1.2\ \text{分钟}=\frac{1.2}{60}\ \text{小时}=0.02\ \text{小时}.$

   漏掉这一步换算，是这类题最常见的错误。

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   算出爬升的高度。

   $h=v_{y}t=250\times 0.02=5\ \text{km}.$

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   与另一架飞机比较。 爬升的飞机在 $5$ km，另一架在 $7$ km，$5<7$，所以 $1.2$ 分钟后爬升的这架仍然更低。按这个爬升率，它还需要 $\dfrac{7}{250}\ \text{小时}=1.68$ 分钟才能升到 $7$ km。