概率计算器

概率衡量一个事件发生的可能性大小。它用 $0$ 到 $1$ 之间的数表示（或等价地，$0\%$ 到 $100\%$）。

$P(A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{所有可能结果总数}}$

基本概念

• 样本空间 $S$：所有可能结果的集合
• 事件 $A$：样本空间的一个子集
• 补事件 $A'$：事件 $A$ 不发生；$P(A') = 1 - P(A)$

概率的类型

• 理论概率：基于等可能结果的推理（如公平硬币 $P(\text{正面}) = \frac{1}{2}$）
• 实验概率：基于实验观察到的频率
• 主观概率：基于个人判断或专业经验

概率公理

• 对任意事件 $A$，$0 \le P(A) \le 1$
• $P(S) = 1$（必然事件）
• $P(\emptyset) = 0$（不可能事件）

基本概率

对于等可能结果：

$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}}$

加法法则（或）

事件 $A$ 或事件 $B$ 发生的概率：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

若 $A$ 和 $B$ 互斥（不能同时发生）：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

乘法法则（且）

事件 $A$ 且事件 $B$ 同时发生的概率：

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

若 $A$ 和 $B$ 独立：

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

条件概率

在事件 $B$ 已经发生的条件下，$A$ 发生的概率：

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

二项概率

在 $n$ 次独立试验中，每次成功概率为 $p$，恰好有 $k$ 次成功的概率：

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

其中 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

公式汇总表

• 将非独立事件当作独立事件 —— 不放回抽取时，每次抽取后概率会发生变化。
• 加法法则中忘记减去交集 —— 当事件可以同时发生时，必须减去 $P(A \cap B)$ 以避免重复计数。
• 混淆“且”和“或” —— “且”表示两个事件同时发生（独立事件乘以概率）；“或”表示至少一个发生（相加概率）。
• 未考虑样本空间中所有可能结果 —— 确保正确计算总数，尤其在组合和排列问题中。
• 混淆条件概率的方向 —— $P(A|B)$ 与 $P(B|A)$ 不同。