绝对值计算器

实数 $x$ 的绝对值记作 $|x|$，表示它在数轴上到 $0$ 的距离：

$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$

主要性质：

• 对所有 $x$ 都有 $|x| \geq 0$，当且仅当 $x = 0$ 时取等号。
• $|xy| = |x||y|$（乘法性质）。
• $|x + y| \leq |x| + |y|$（三角不等式）。
• $|x|^2 = x^2$，所以 $|x| = \sqrt{x^2}$。

几何意义：$|a - b|$ 是数轴上数 $a$ 与 $b$ 之间的距离。这正是绝对值不等式能够简洁地转化为距离表述的原因。

绝对值可推广到复数（$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$）和向量（欧几里得范数），但这里我们关注大多数作业中用到的实数情形。

类型 1：绝对值方程

$|f(x)| = c$，其中 $c$ 是常数。

• 若 $c < 0$：无解（绝对值永远不可能为负）。
• 若 $c = 0$：求解 $f(x) = 0$。
• 若 $c > 0$：分成两种情况：$f(x) = c$ 或 $f(x) = -c$。分别求解，保留所有有效解。

示例：$|2x - 3| = 7$ 拆分为 $2x - 3 = 7$ 或 $2x - 3 = -7$，得到 $x = 5$ 或 $x = -2$。

类型 2：小于型不等式

$|f(x)| < c$（或 $\leq$），其中 $c > 0$。

等价于：$-c < f(x) < c$（一个复合不等式，逻辑「且」）。

几何含义：$f(x)$ 到 $0$ 的距离不超过 $c$。

示例：$|2x + 1| < 7$ 变为 $-7 < 2x + 1 < 7$，得到 $-4 < x < 3$。

若 $c \leq 0$，则无解（当 $c = 0$ 时仅有 $f(x) = 0$）。

类型 3：大于型不等式

$|f(x)| > c$（或 $\geq$），其中 $c \geq 0$。

等价于：$f(x) < -c$ 或 $f(x) > c$（一个析取式，逻辑「或」）。

示例：$|3x - 6| \geq 9$ 变为 $3x - 6 \leq -9$ 或 $3x - 6 \geq 9$，得到 $x \leq -1$ 或 $x \geq 5$。

若 $c < 0$，则任何实数都满足该不等式。

难点：两边都有绝对值

$|f(x)| = |g(x)|$ 拆分为 $f(x) = g(x)$ 或 $f(x) = -g(x)$。

验证解

始终代回原始方程检验。在某些情形下，平方或拆分可能引入增根。

• 漏掉负的情况：$|x| = 5$ 有两个解，$x = 5$ 和 $x = -5$。初学者常常只写正的那个。
• 「且」与「或」用反：$|x| < c$ 用「且」（介于 $-c$ 和 $c$ 之间）；$|x| > c$ 用「或」（小于 $-c$ 或大于 $c$）。用反会得到错误答案。
• 忘记 $c$ 必须非负：$|f(x)| = -3$ 无解，因为 $|f(x)| \geq 0$ 恒成立。
• 负情况下的符号混淆：$|2x - 3| = 7$ 给出 $2x - 3 = -7$，而不是 $-(2x) - 3 = 7$。要把整个表达式取负并令其等于 $-c$。
• 遗漏增根：求解后始终代回原始方程。如果绝对值结构依赖 $f(x)$ 非负，要核对这一点。