极限技巧

标准极限（sin）

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

所有三角极限的基础。

洛必达法则

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

当极限为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 时使用。

求导法则

幂法则

$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$

适用于任意实数指数。

乘积法则

$(fg)' = f'g + fg'$

两个函数相乘——轮流对每个求导。

商法则

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

用于比值；记住顺序 $f'g$ 在 $fg'$ 之前。

链式法则

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

先外后内；最常见的出错来源。

常见导数

sin

$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$

cos

$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$

注意负号。

e^x

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

唯一的不动点函数。

ln x

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

定义域 $x > 0$ 。

积分表

幂法则（积分）

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n \neq -1)$

求导幂法则的逆运算。

1/x

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

幂法则中 $n=-1$ 的特例。

sin / cos

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

记住符号——很容易弄混。

指数函数

$\int e^x\,dx = e^x + C$

与其导数相同。

泰勒 / 麦克劳林级数

e^x

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

对所有实数 $x$ 收敛。

sin x

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

仅含奇数次幂。

cos x

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

仅含偶数次幂。

微积分 Formulas