AI Math
เปิดแอป

เครื่องคำนวณ Sin Cos Tan

หาค่าและวาดกราฟฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์พร้อมคำอธิบายทีละขั้นตอน
sin(pi/3)
cos(225°)
tan(7pi/4)
sin(x) + cos(x) at x = pi/4

Sin, Cos และ Tan คืออะไร?

ฟังก์ชันตรีโกณมิติหลักสามตัว — ไซน์, โคไซน์ และ แทนเจนต์ — เชื่อมโยงมุมกับอัตราส่วนของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

sin⁡θ=oppositehypotenuse,cos⁡θ=adjacenthypotenuse,tan⁡θ=oppositeadjacent=sin⁡θcos⁡θ\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

บน วงกลมหนึ่งหน่วย (รัศมี 1 ศูนย์กลางที่จุดกำเนิด) สำหรับมุม θ\theta ที่วัดจากแกน xx ด้านบวก:

  • cos⁡θ\cos\theta = พิกัด xx ของจุด
  • sin⁡θ\sin\theta = พิกัด yy ของจุด
  • tan⁡θ\tan\theta = ความชันของรังสีปลาย

สมบัติสำคัญ:

  • sin⁡\sin และ cos⁡\cos มีเรนจ์ [−1,1][-1, 1] และคาบ 2π2\pi
  • tan⁡\tan มีเรนจ์ (−∞,∞)(-\infty, \infty) และคาบ π\pi
  • tan⁡θ\tan\theta ไม่นิยามเมื่อ cos⁡θ=0\cos\theta = 0 (ที่ π2+nπ\frac{\pi}{2} + n\pi)

ฟังก์ชันส่วนกลับคือ:
csc⁡θ=1sin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,cot⁡θ=1tan⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

ฟังก์ชันหกตัวนี้เป็นรากฐานของตรีโกณมิติและปรากฏทั่วคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ วิศวกรรม และการประมวลผลสัญญาณ

วิธีหาค่า Sin, Cos และ Tan

วิธีที่ 1: วงกลมหนึ่งหน่วย (ค่าแม่นตรง)

จำมุมสำคัญและพิกัดบนวงกลมหนึ่งหน่วย:

มุมsin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
00001100
π6\frac{\pi}{6} (30°)12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}13\frac{1}{\sqrt{3}}
π4\frac{\pi}{4} (45°)22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}11
π3\frac{\pi}{3} (60°)32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}
π2\frac{\pi}{2} (90°)1100ไม่นิยาม

วิธีที่ 2: มุมอ้างอิง

สำหรับมุมนอกจตุภาคแรก:

  1. หามุมอ้างอิง (มุมแหลมถึงแกน xx)
  2. หาเครื่องหมายจากจตุภาค (กฎ ASTC: All, Sin, Tan, Cos)

กฎ ASTC — ฟังก์ชันใดเป็นบวก:

  • จตุภาคที่ I (0° ถึง 90°): บวกทั้งหมด
  • จตุภาคที่ II (90° ถึง 180°): Sin บวก
  • จตุภาคที่ III (180° ถึง 270°): Tan บวก
  • จตุภาคที่ IV (270° ถึง 360°): Cos บวก

ตัวอย่าง: sin⁡(150°)\sin(150°) — มุมอ้างอิงคือ 180°−150°=30°180° - 150° = 30° ในจตุภาคที่ II ไซน์เป็นบวก: sin⁡(150°)=+sin⁡(30°)=12\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}

วิธีที่ 3: สูตรผลบวกและผลต่าง

สำหรับมุมที่ไม่มาตรฐาน ให้แยกเป็นมุมที่รู้จัก:

sin⁡(A±B)=sin⁡Acos⁡B±cos⁡Asin⁡B\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B
cos⁡(A±B)=cos⁡Acos⁡B∓sin⁡Asin⁡B\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B
tan⁡(A±B)=tan⁡A±tan⁡B1∓tan⁡Atan⁡B\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}

ตัวอย่าง: cos⁡(75°)=cos⁡(45°+30°)=cos⁡45°cos⁡30°−sin⁡45°sin⁡30°=6−24\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

วิธีที่ 4: การแปลงกราฟ

สำหรับ y=Asin⁡(Bx+C)+Dy = A\sin(Bx + C) + D:

  • ∣A∣|A| = แอมพลิจูด
  • 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|} = คาบ
  • −CB-\frac{C}{B} = การเลื่อนเฟส
  • DD = การเลื่อนแนวดิ่ง

การเปรียบเทียบ: เมื่อใดควรใช้แต่ละวิธี

วิธีเหมาะที่สุดสำหรับตัวบ่งชี้สำคัญ
วงกลมหนึ่งหน่วยมุมมาตรฐานตัวคูณของ 30°, 45°, 60°
มุมอ้างอิงจตุภาคใด ๆมุม > 90° หรือเป็นลบ
ผลบวก/ผลต่างค่าแม่นตรงที่ไม่มาตรฐานมุม = ผลบวกของมุมมาตรฐาน
เครื่องคิดเลขการประมาณค่าทศนิยมมุมใด ๆ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและควรหลีกเลี่ยง

  • เครื่องหมายจตุภาคผิด: cos⁡(120°)=−12\cos(120°) = -\frac{1}{2} ไม่ใช่ +12+\frac{1}{2} ตรวจเสมอว่าจตุภาคใดกำหนดเครื่องหมาย
  • สับสนองศากับเรเดียน: sin⁡(π)=0\sin(\pi) = 0 (เรเดียน) แต่ sin⁡(180)≈−0.80\sin(180) \approx -0.80 ถ้าตีความเป็น 180 เรเดียน ให้สอดคล้องกับหน่วย
  • ลืมว่า tan ไม่นิยาม: tan⁡(90°)\tan(90°) และ tan⁡(270°)\tan(270°) ไม่นิยาม (เส้นกำกับแนวตั้ง) ไม่ใช่ศูนย์หรืออนันต์
  • ใช้สูตรผลบวกผิด: sin⁡(A+B)≠sin⁡A+sin⁡B\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B คุณต้องใช้การกระจายที่ถูกต้อง
  • ผิดพลาดเรื่องมุมอ้างอิง: มุมอ้างอิงวัดถึงแกน xx เสมอ (ไม่ใช่แกน yy) และเป็นบวกและแหลมเสมอ

Examples

Step 1: 5π6\frac{5\pi}{6} อยู่ในจตุภาคที่ II (ระหว่าง π2\frac{\pi}{2} และ π\pi)
Step 2: มุมอ้างอิง: π−5π6=π6\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}
Step 3: ไซน์เป็นบวกในจตุภาคที่ II: sin⁡5π6=+sin⁡π6=12\sin\frac{5\pi}{6} = +\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}
Answer: 12\frac{1}{2}

Step 1: 315°315° อยู่ในจตุภาคที่ IV (ระหว่าง 270°270° และ 360°360°)
Step 2: มุมอ้างอิง: 360°−315°=45°360° - 315° = 45°
Step 3: โคไซน์เป็นบวกในจตุภาคที่ IV: cos⁡(315°)=+cos⁡(45°)=22\cos(315°) = +\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}
Answer: 22\frac{\sqrt{2}}{2}

Step 1: 2π3\frac{2\pi}{3} อยู่ในจตุภาคที่ II (ระหว่าง π2\frac{\pi}{2} และ π\pi)
Step 2: มุมอ้างอิง: π−2π3=π3\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}
Step 3: แทนเจนต์เป็นลบในจตุภาคที่ II: tan⁡2π3=−tan⁡π3=−3\tan\frac{2\pi}{3} = -\tan\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}
Answer: −3-\sqrt{3}

Frequently Asked Questions

วงกลมหนึ่งหน่วยคือวงกลมที่มีรัศมี 1 ศูนย์กลางที่จุดกำเนิด สำหรับมุม theta ใด ๆ พิกัด x ของจุดบนวงกลมคือ cos(theta) และพิกัด y คือ sin(theta) มันให้วิธีนิยามฟังก์ชันตรีโกณสำหรับทุกมุม ไม่ใช่แค่มุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ASTC (บางครั้งจำว่า 'All Students Take Calculus') บอกว่าฟังก์ชันตรีโกณใดเป็นบวกในแต่ละจตุภาค ในจตุภาคที่ I ทั้งหมดเป็นบวก ใน II เฉพาะไซน์ ใน III เฉพาะแทนเจนต์ และใน IV เฉพาะโคไซน์ ฟังก์ชันอื่นเป็นลบ

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก: ไซน์คือด้านตรงข้ามหารด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์คือด้านประชิดหารด้านตรงข้ามมุมฉาก และแทนเจนต์คือด้านตรงข้ามหารด้านประชิด (หรือเทียบเท่ากับ sin/cos) วัดอัตราส่วนต่างกันของรูปสามเหลี่ยมเดียวกันและมีกราฟ คาบ และเรนจ์ต่างกัน

คูณองศาด้วย pi/180 เพื่อได้เรเดียน คูณเรเดียนด้วย 180/pi เพื่อได้องศา ค่าเทียบเท่าสำคัญ: 180 องศา = pi เรเดียน, 90 องศา = pi/2, 360 องศา = 2pi

Related Solvers

เครื่องคำนวณตรีโกณมิติเครื่องคำนวณตรีโกณมิติผกผันเครื่องคำนวณอนุพันธ์เครื่องคำนวณปริพันธ์

Related Guides

Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving