AI Math
เปิดแอป

เครื่องคำนวณตรีโกณมิติผกผัน

หาค่า arcsin, arccos และ arctan พร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพหรือ PDF

∑Math Input
arcsin(1/2)
arccos(-sqrt(2)/2)
arctan(sqrt(3))
sin(arccos(3/5))

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันคืออะไร?

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ย้อนกลับฟังก์ชันตรีโกณมิติมาตรฐาน เมื่อกำหนดอัตราส่วน มันคืนมุม:

arcsin⁡(x)=θ  ⟺  sin⁡(θ)=x\arcsin(x) = \theta \iff \sin(\theta) = x
arccos⁡(x)=θ  ⟺  cos⁡(θ)=x\arccos(x) = \theta \iff \cos(\theta) = x
arctan⁡(x)=θ  ⟺  tan⁡(θ)=x\arctan(x) = \theta \iff \tan(\theta) = x

เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง เราจำกัดโดเมนเพื่อนิยามฟังก์ชันผกผันที่ถูกต้อง:

ฟังก์ชันโดเมนเรนจ์ (ค่าหลัก)
arcsin⁡(x)\arcsin(x)[−1,1][-1, 1][−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
arccos⁡(x)\arccos(x)[−1,1][-1, 1][0,π][0, \pi]
arctan⁡(x)\arctan(x)(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

สัญกรณ์ทางเลือก: sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x), cos⁡−1(x)\cos^{-1}(x), tan⁡−1(x)\tan^{-1}(x) (สังเกต: sin⁡−1(x)≠1sin⁡x\sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x})

ความสัมพันธ์สำคัญ:

  • arcsin⁡(x)+arccos⁡(x)=π2\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} สำหรับทุก x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
  • arctan⁡(x)+arccot(x)=π2\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2} สำหรับทุก xx

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันปรากฏในการหาปริพันธ์ (∫11+x2 dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C) เรขาคณิต การเดินเรือ และฟิสิกส์

วิธีหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

วิธีที่ 1: ใช้ค่าที่รู้จัก

สำหรับค่ามาตรฐาน ใช้วงกลมหนึ่งหน่วยแบบย้อนกลับ:

arcsin⁡(12)=π6เพราะ sin⁡π6=12\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{เพราะ } \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

ค่าแม่นตรงที่พบบ่อย:

อินพุตarcsin⁡\arcsinarccos⁡\arccosarctan⁡\arctan
0000π2\frac{\pi}{2}00
12\frac{1}{2}π6\frac{\pi}{6}π3\frac{\pi}{3}—
22\frac{\sqrt{2}}{2}π4\frac{\pi}{4}π4\frac{\pi}{4}—
32\frac{\sqrt{3}}{2}π3\frac{\pi}{3}π6\frac{\pi}{6}—
11π2\frac{\pi}{2}00π4\frac{\pi}{4}
3\sqrt{3}——π3\frac{\pi}{3}

วิธีที่ 2: วิธีรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในการหาค่าการประกอบอย่าง cos⁡(arcsin⁡(35))\cos(\arcsin(\frac{3}{5})):

  1. ให้ θ=arcsin⁡(35)\theta = \arcsin(\frac{3}{5}) ดังนั้น sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5}
  2. วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก: ด้านตรงข้าม =3= 3, ด้านตรงข้ามมุมฉาก =5= 5
  3. หาด้านประชิด =25−9=4= \sqrt{25 - 9} = 4 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
  4. ดังนั้น cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}

วิธีที่ 3: เอกลักษณ์เชิงพีชคณิต

เอกลักษณ์ที่มีประโยชน์สำหรับการทำให้เป็นรูปอย่างง่าย:

sin⁡(arccos⁡x)=1−x2\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}
cos⁡(arcsin⁡x)=1−x2\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}
tan⁡(arcsin⁡x)=x1−x2\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
sin⁡(arctan⁡x)=x1+x2\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}
cos⁡(arctan⁡x)=11+x2\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}

วิธีที่ 4: อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

เหล่านี้จำเป็นสำหรับแคลคูลัส:

ddxarcsin⁡x=11−x2\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarccos⁡x=−11−x2\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarctan⁡x=11+x2\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}

การเปรียบเทียบวิธี

วิธีเหมาะที่สุดสำหรับตัวบ่งชี้สำคัญ
ค่าที่รู้จักอัตราส่วนมาตรฐานอินพุตเป็น 0,12,22,32,10, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1
รูปสามเหลี่ยมมุมฉากการประกอบนิพจน์แบบ cos⁡(arcsin⁡(⋅))\cos(\arcsin(\cdot))
เอกลักษณ์การทำให้เป็นรูปอย่างง่ายเชิงพีชคณิตต้องกำจัดตรีโกณมิติผกผัน
เครื่องคิดเลขทศนิยมที่ไม่มาตรฐานไม่คาดหวังรูปแม่นตรง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและควรหลีกเลี่ยง

  • สับสน sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) กับ 1sin⁡x\frac{1}{\sin x}: สัญกรณ์ sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) หมายถึง arcsin ไม่ใช่โคซีแคนต์ ใช้บริบทหรือเลือกใช้สัญกรณ์ "arc" เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน
  • มองข้ามเรนจ์ค่าหลัก: arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} ไม่ใช่ 11π6\frac{11\pi}{6} คำตอบต้องอยู่ในเรนจ์ที่นิยาม [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]
  • ใช้การตัดทอนไม่ถูกต้อง: sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x สำหรับ x∈[−1,1]x \in [-1,1] แต่ arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x เฉพาะเมื่อ x∈[−π2,π2]x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] นอกพิสัยนี้ คุณได้มุมอ้างอิงพร้อมเครื่องหมายที่เหมาะสม
  • ผิดพลาดเรื่องโดเมน: arcsin⁡(2)\arcsin(2) และ arccos⁡(−3)\arccos(-3) ไม่นิยามในจำนวนจริงเพราะโดเมนเป็น [−1,1][-1, 1]
  • เครื่องหมายผิดในขั้นพีทาโกรัส: เมื่อใช้วิธีรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตรวจให้แน่ใจว่าคุณใช้เครื่องหมายที่ถูกต้องตามจตุภาคที่บ่งชี้โดยเรนจ์ค่าหลัก

Examples

Step 1: เราต้องการ θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi] ที่ทำให้ cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
Step 2: เรารู้ cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} เนื่องจากโคไซน์เป็นลบ θ\theta อยู่ในจตุภาคที่ II
Step 3: θ=π−π6=5π6\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
Answer: 5π6\frac{5\pi}{6}

Step 1: ให้ θ=arctan⁡43\theta = \arctan\frac{4}{3} ดังนั้น tan⁡θ=43\tan\theta = \frac{4}{3} โดย θ∈(−π2,π2)\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
Step 2: วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก: ด้านตรงข้าม =4= 4, ด้านประชิด =3= 3, ด้านตรงข้ามมุมฉาก =16+9=5= \sqrt{16 + 9} = 5
Step 3: sin⁡θ=oppositehypotenuse=45\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{4}{5}
Answer: 45\frac{4}{5}

Step 1: ก่อนอื่นคำนวณ sin⁡5π4\sin\frac{5\pi}{4} มุมนี้อยู่ในจตุภาคที่ III มีมุมอ้างอิง π4\frac{\pi}{4}: sin⁡5π4=−22\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 2: ตอนนี้หา arcsin⁡(−22)\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}): เราต้องการ θ∈[−π2,π2]\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] ที่ sin⁡θ=−22\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 3: θ=−π4\theta = -\frac{\pi}{4} (ในจตุภาคที่ IV ของพิสัยที่จำกัด)
Answer: −π4-\frac{\pi}{4}

Frequently Asked Questions

Arcsin(x) ตอบว่า 'มุมใดมีไซน์เท่ากับ x?' เช่นเดียวกันสำหรับ arccos และ arctan เป็นการดำเนินการผกผันของ sin, cos และ tan ตัวอย่างเช่น arcsin(1/2) = 30 องศา (หรือ pi/6 เรเดียน) เพราะ sin(30 องศา) = 1/2

เพราะไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์เป็นคาบ ค่าเอาต์พุตแต่ละค่าสอดคล้องกับมุมจำนวนอนันต์ เพื่อทำให้ฟังก์ชันผกผันเป็นฟังก์ชันที่ถูกต้อง (หนึ่งเอาต์พุตต่อหนึ่งอินพุต) เราจำกัดไว้ที่เรนจ์ค่าหลัก สำหรับ arcsin คือ [-pi/2, pi/2] สำหรับ arccos คือ [0, pi] และสำหรับ arctan คือ (-pi/2, pi/2)

ไม่ sin^(-1)(x) หมายถึง arcsin(x) ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผัน ส่วนกลับ 1/sin(x) เขียนเป็น csc(x) (โคซีแคนต์) นี่เป็นแหล่งความสับสนที่พบบ่อยเนื่องจากสัญกรณ์เลขชี้กำลังที่กำกวม

Arcsin และ arccos รับเฉพาะอินพุตระหว่าง -1 และ 1 รวมปลาย เนื่องจากไซน์และโคไซน์ไม่เคยเกินขอบเขตเหล่านั้น Arctan รับจำนวนจริงใด ๆ เป็นอินพุตเพราะแทนเจนต์สามารถให้ค่าจริงใด ๆ ได้

Related Solvers

เครื่องคำนวณตรีโกณมิติเครื่องคำนวณ Sin Cos Tanเครื่องคำนวณอนุพันธ์เครื่องคำนวณปริพันธ์
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving