วงกลมหนึ่งหน่วย เป็นภาพเดี่ยวที่มีประโยชน์ที่สุดในตรีโกณมิติ นักเรียนส่วนใหญ่พยายามท่องจำค่าของมัน — มีวิธีที่อยู่ทนกว่านั้น: หาทุกค่ามาตรฐานจากสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปได้ในไม่กี่วินาที คู่มือนี้จะแสดงให้คุณเห็นว่าทำอย่างไร

วงกลมหนึ่งหน่วยคืออะไร

วงกลมหนึ่งหน่วย คือวงกลมรัศมี $1$ ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด: $x^2 + y^2 = 1$

สำหรับมุม $\theta$ ใด ๆ (วัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x ด้านบวก) จุดบนวงกลมที่มุมนั้นคือ:

$(\cos\theta,\ \sin\theta)$

ข้อเท็จจริงเดียวนั้นให้ค่าไซน์และโคไซน์ของทุกมุมในโลกแก่คุณ — ไม่ต้องท่องจำหากคุณสร้างค่าขึ้นใหม่จากสามเหลี่ยมได้

สามเหลี่ยมสำคัญสองรูป

สามเหลี่ยม 30-60-90

อัตราส่วนด้าน: $1 : \sqrt{3} : 2$ (ตรงข้าม $30°$ : ตรงข้าม $60°$ : ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ดังนั้นเมื่อด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นหนึ่งหน่วย:

$\sin 30° = \frac{1}{2}$ , $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 60° = \frac{1}{2}$

สามเหลี่ยม 45-45-90

อัตราส่วนด้าน: $1 : 1 : \sqrt{2}$

เมื่อด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นหนึ่งหน่วย:

$\sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

จตุภาคแรก ( $0$ ถึง $\pi/2$ )

มุมสำคัญห้ามุม สร้างตารางจากสามเหลี่ยมข้างบน:

$\theta$	$\cos\theta$	$\sin\theta$
$0$	$1$	$0$
$\pi/6 = 30°$	$\sqrt{3}/2$	$1/2$
$\pi/4 = 45°$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$
$\pi/3 = 60°$	$1/2$	$\sqrt{3}/2$
$\pi/2 = 90°$	$0$	$1$

สังเกตความงดงาม: $\sin$ ไล่ไป $0 \to 1/2 \to \sqrt{2}/2 \to \sqrt{3}/2 \to 1$ ขณะที่ $\cos$ ไล่ลำดับเดียวกันแบบย้อนกลับ ทั้งสองเป็นภาพสะท้อนของกันและกัน

ขยายไปยังจตุภาคอื่น ๆ (ไม่ต้องท่องจำ)

ใช้ มุมอ้างอิง + เครื่องหมายตามจตุภาค

มุมอ้างอิงคือมุมแหลมระหว่าง $\theta$ กับแกน x คำนวณ $\sin/\cos$ ของมันจากจตุภาค I แล้วใส่เครื่องหมาย:

จตุภาค	พิกัด x ( $\cos$ )	พิกัด y ( $\sin$ )
I (0–90°)	+	+
II (90–180°)	−	+
III (180–270°)	−	−
IV (270–360°)	+	−

ตัวช่วยจำ: All Students Take Calculus → ในจตุภาค I บวกทั้งหมด ในจตุภาค II เฉพาะ sin (S) ในจตุภาค III เฉพาะ tan (T) ในจตุภาค IV เฉพาะ cos (C)

ตัวอย่าง: $\sin(150°)$

มุมอ้างอิง: $180° - 150° = 30°$
จตุภาค II: sin เป็นบวก
$\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}$

ตัวอย่าง: $\cos(225°)$

มุมอ้างอิง: $225° - 180° = 45°$
จตุภาค III: cos เป็นลบ
$\cos(225°) = -\cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

แล้วแทนเจนต์ล่ะ

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ คำนวณ sin และ cos แล้วหาร

ตัวอย่าง: $\tan(60°) = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$

ทำไมวิธีนี้ดีกว่าการท่องจำ

สร้างขึ้นใหม่จากความเข้าใจ — คุณจะไม่มีวันลืมอัตราส่วนสามเหลี่ยมสองรูป
ใช้ได้กับทุกมุม รวมถึงมุมที่ไม่ค่อยพบอย่าง $\sin(330°)$
สรุปทั่วไปได้ ไปยังเอกลักษณ์ ปริพันธ์ในแคลคูลัส และโจทย์ฟิสิกส์
ลดความวิตกในการสอบ — ไม่ตื่นตระหนกหากนึกตารางที่ท่องไว้ไม่ออก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

สับสนเครื่องหมายตามจตุภาค หยุดและระบุจตุภาคเสมอก่อนใส่เครื่องหมาย
มุมอ้างอิงกับมุมต้นฉบับ คำนวณค่าตรีโกณของมุมอ้างอิง (ที่เป็นมุมแหลมและบวกเสมอ) แล้วจึงใส่เครื่องหมาย
ปนเรเดียนกับองศา $\sin(\pi/6)$ และ $\sin(30°)$ เท่ากัน; $\sin(\pi)$ ในหน่วยเรเดียนเป็น $0$ แต่ $\sin(180°)$ เป็น $0$ — เท่ากัน แต่ " $\sin(2)$ " ที่ไม่มีหน่วยใช้ค่าเริ่มต้นเป็นเรเดียน (≈ 0.91) ไม่ใช่ 2 องศา

ลองด้วยตัวเอง

ใส่มุมใด ๆ ลงในเครื่องคิดเลข Sin/Cos/Tan — ดูการแสดงภาพวงกลมหนึ่งหน่วยและการหาทีละขั้น

ที่เกี่ยวข้อง:

วงกลมหนึ่งหน่วยโดยไม่ต้องท่องจำ