AI Math
เปิดแอป

เครื่องคำนวณตรีโกณมิติ

แก้สมการตรีโกณมิติและหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพหรือ PDF

∑Math Input
2sin(x) - 1 = 0
cos(2x) = cos(x)
tan(x) = sqrt(3)
sin^2(x) - sin(x) - 2 = 0

สมการตรีโกณมิติคืออะไร?

สมการตรีโกณมิติ คือสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan ฯลฯ) ของมุมที่ไม่ทราบค่า เป้าหมายคือการหาค่าทั้งหมดของมุมที่สอดคล้องกับสมการ

เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น คาบ สมการตรีโกณส่วนใหญ่มีคำตอบจำนวนอนันต์ เรามักแสดงคำตอบในสองรูป:

  1. คำตอบหลัก: คำตอบในช่วงเฉพาะ โดยทั่วไป [0,2π)[0, 2\pi) หรือ [0°,360°)[0°, 360°)
  2. คำตอบทั่วไป: คำตอบทั้งหมด เขียนโดยใช้ +2nπ+ 2n\pi (หรือ +360°n+ 360°n) เมื่อ nn เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

ตัวอย่างเช่น sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} มีคำตอบหลัก x=π6x = \frac{\pi}{6} และ x=5π6x = \frac{5\pi}{6} และคำตอบทั่วไป x=π6+2nπx = \frac{\pi}{6} + 2n\pi และ x=5π6+2nπx = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi

เอกลักษณ์สำคัญ ที่ใช้ในการแก้สมการตรีโกณ:

  • พีทาโกรัส: sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1
  • มุมคู่: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x, cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x
  • สูตรผลบวกเป็นผลคูณและผลคูณเป็นผลบวก

วิธีแก้สมการตรีโกณมิติ

วิธีที่ 1: การแยกและฟังก์ชันผกผัน

สำหรับสมการอย่างง่าย ให้แยกฟังก์ชันตรีโกณและใช้ฟังก์ชันผกผัน:

sin⁡x=a  ⟹  x=arcsin⁡(a) และ x=π−arcsin⁡(a)\sin x = a \implies x = \arcsin(a) \text{ และ } x = \pi - \arcsin(a)

cos⁡x=a  ⟹  x=±arccos⁡(a)\cos x = a \implies x = \pm \arccos(a)

tan⁡x=a  ⟹  x=arctan⁡(a)+nπ\tan x = a \implies x = \arctan(a) + n\pi

วิธีที่ 2: การแยกตัวประกอบ

เมื่อสมการแยกตัวประกอบได้:

sin⁡2x−sin⁡x=0  ⟹  sin⁡x(sin⁡x−1)=0\sin^2 x - \sin x = 0 \implies \sin x(\sin x - 1) = 0

ดังนั้น sin⁡x=0\sin x = 0 หรือ sin⁡x=1\sin x = 1 ได้ x=0,π,π2x = 0, \pi, \frac{\pi}{2} ใน [0,2π)[0, 2\pi)

วิธีที่ 3: ใช้เอกลักษณ์เพื่อทำให้เป็นรูปอย่างง่าย

แทนนิพจน์ที่ซับซ้อนด้วยเอกลักษณ์:

ตัวอย่าง: แก้ cos⁡2x=cos⁡x\cos 2x = \cos x

ใช้ cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^2 x - 1:
2cos⁡2x−1=cos⁡x2\cos^2 x - 1 = \cos x
2cos⁡2x−cos⁡x−1=02\cos^2 x - \cos x - 1 = 0
(2cos⁡x+1)(cos⁡x−1)=0(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0

ดังนั้น cos⁡x=−12\cos x = -\frac{1}{2} หรือ cos⁡x=1\cos x = 1

วิธีที่ 4: การแทนค่า

สำหรับสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณหลายตัว ให้แทน t=sin⁡xt = \sin x หรือ t=cos⁡xt = \cos x:

2sin⁡2x+3cos⁡x−3=02\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0

ใช้ sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x: 2(1−cos⁡2x)+3cos⁡x−3=02(1 - \cos^2 x) + 3\cos x - 3 = 0 → 2cos⁡2x−3cos⁡x+1=02\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0

วิธีที่ 5: ยกกำลังสองทั้งสองข้าง (พร้อมตรวจสอบ)

บางครั้งมีประโยชน์ แต่ตรวจสอบคำตอบเสมอเพราะการยกกำลังสองอาจทำให้เกิดรากแปลกปลอม

สรุปมุมอ้างอิง

สมการคำตอบใน [0,2π)[0, 2\pi)
sin⁡x=a\sin x = a ($a
cos⁡x=a\cos x = a ($a
tan⁡x=a\tan x = ax=arctan⁡ax = \arctan a, x=π+arctan⁡ax = \pi + \arctan a

การเปรียบเทียบวิธี

วิธีเหมาะที่สุดสำหรับตัวบ่งชี้สำคัญ
การแยกสมการฟังก์ชันเดียวอย่างง่ายฟังก์ชันตรีโกณหนึ่งตัว เชิงเส้น
การแยกตัวประกอบสมการคล้ายพหุนามมีตัวประกอบร่วมหรือรูปกำลังสอง
เอกลักษณ์หลายมุมหรือหลายฟังก์ชันcos⁡2x\cos 2x, sin⁡2x\sin^2 x ฯลฯ
การแทนค่าฟังก์ชันตรีโกณผสมแปลงทั้งหมดเป็นฟังก์ชันเดียว
การยกกำลังสองสมการที่มีผลบวกsin⁡x+cos⁡x=k\sin x + \cos x = k

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและควรหลีกเลี่ยง

  • ลืมคำตอบที่เป็นคาบ: sin⁡x=0.5\sin x = 0.5 มีสองคำตอบต่อคาบ ไม่ใช่หนึ่ง พิจารณาทุกจตุภาคที่ฟังก์ชันมีเครื่องหมายที่กำหนดเสมอ
  • หารด้วยฟังก์ชันตรีโกณ: การหารด้วย sin⁡x\sin x หรือ cos⁡x\cos x อาจสูญเสียคำตอบที่ฟังก์ชันนั้นเท่ากับศูนย์ ให้แยกตัวประกอบแทน
  • ไม่ตรวจสอบคำตอบแปลกปลอม: เมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้าง ให้แทนค่ากลับเพื่อตรวจสอบเสมอ การยกกำลังสองอาจทำให้เกิดคำตอบเท็จ
  • สับสนองศากับเรเดียน: ให้สอดคล้องกัน sin⁡(30)≠sin⁡(30°)\sin(30) \neq \sin(30°) ในเครื่องคิดเลขและบริบทการเขียนโปรแกรมส่วนใหญ่
  • มองข้ามข้อจำกัดของโดเมน: sin⁡x=2\sin x = 2 ไม่มีคำตอบจริงเพราะ −1≤sin⁡x≤1-1 \leq \sin x \leq 1

Examples

Step 1: แยก: sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2}
Step 2: ไซน์เป็นบวกในจตุภาคที่ I และ II มุมอ้างอิง: π6\frac{\pi}{6}
Step 3: คำตอบ: x=π6x = \frac{\pi}{6} และ x=π−π6=5π6x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
Answer: x=π6,  5π6x = \frac{\pi}{6},\; \frac{5\pi}{6}

Step 1: ให้ u=cos⁡xu = \cos x สมการกลายเป็น u2−u−2=0u^2 - u - 2 = 0
Step 2: แยกตัวประกอบ: (u−2)(u+1)=0(u - 2)(u + 1) = 0 ดังนั้น u=2u = 2 หรือ u=−1u = -1
Step 3: cos⁡x=2\cos x = 2 ไม่มีคำตอบ (นอกพิสัย) cos⁡x=−1\cos x = -1 ได้ x=πx = \pi
Answer: x=πx = \pi

Step 1: ใช้ sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x: 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡x2\sin x \cos x = \sin x
Step 2: จัดรูปใหม่: sin⁡x(2cos⁡x−1)=0\sin x(2\cos x - 1) = 0
Step 3: sin⁡x=0\sin x = 0 ได้ x=0,πx = 0, \pi cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2} ได้ x=π3,5π3x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}
Answer: x=0,  π3,  π,  5π3x = 0,\; \frac{\pi}{3},\; \pi,\; \frac{5\pi}{3}

Frequently Asked Questions

สมการตรีโกณส่วนใหญ่มีคำตอบจำนวนอนันต์เพราะฟังก์ชันตรีโกณเป็นคาบ ในช่วงที่จำกัดอย่าง [0, 2pi) มักมีคำตอบจำนวนจำกัด คำตอบทั่วไปบวกตัวคูณของคาบเพื่อครอบคลุมคำตอบทั้งหมด

สมการตรีโกณเป็นจริงเฉพาะค่าของตัวแปรบางค่า (อย่าง sin x = 1/2) เอกลักษณ์ตรีโกณเป็นจริงสำหรับทุกค่าที่นิยาม (อย่าง sin^2 x + cos^2 x = 1) คุณแก้สมการแต่ตรวจสอบเอกลักษณ์

ในแคลคูลัสและคณิตศาสตร์ระดับสูงส่วนใหญ่ เรเดียนเป็นมาตรฐาน ในการประยุกต์ในทางปฏิบัติอย่างการเดินเรือหรือวิศวกรรม องศาอาจพบบ่อยกว่า ตรวจเสมอว่าหลักสูตรหรือบริบทของคุณต้องการหน่วยใด หนึ่งรอบเต็มคือ 360 องศาหรือ 2pi เรเดียน

Related Solvers

เครื่องคำนวณ Sin Cos Tanเครื่องคำนวณตรีโกณมิติผกผันเครื่องคำนวณอนุพันธ์เครื่องคำนวณปริพันธ์
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving