เครื่องคำนวณปริพันธ์

ปริพันธ์ เป็นแนวคิดมูลฐานในแคลคูลัสที่แทนการสะสมของปริมาณ มีสองประเภทหลัก:

ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (ปฏิยานุพันธ์)

ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ $f(x)$ คือตระกูลของฟังก์ชัน $F(x) + C$ ที่ทำให้ $F'(x) = f(x)$:

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

โดยที่ $C$ คือค่าคงตัวของการหาปริพันธ์

ปริพันธ์จำกัดเขต

ปริพันธ์จำกัดเขตคำนวณพื้นที่สุทธิแบบมีเครื่องหมายใต้เส้นโค้ง $f(x)$ จาก $a$ ถึง $b$:

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

ความสัมพันธ์นี้เรียกว่า ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส ซึ่งเชื่อมโยงการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์

ในเชิงเรขาคณิต ปริพันธ์จำกัดเขตแทนพื้นที่ระหว่างฟังก์ชันกับแกน $x$ บนช่วง $[a, b]$ พื้นที่เหนือแกนเป็นบวก และพื้นที่ใต้แกนเป็นลบ

ปริพันธ์มีการประยุกต์กว้างขวางในฟิสิกส์ (งาน การกระจัด) วิศวกรรม (การประมวลผลสัญญาณ) ความน่าจะเป็น (ค่าคาดหวัง) และเศรษฐศาสตร์ (ส่วนเกินผู้บริโภค)

กฎพื้นฐานของการหาปริพันธ์

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C$

วิธีที่ 1: การแทนค่า (u-substitution)

ใช้เมื่อฟังก์ชันปริพันธ์มีฟังก์ชันประกอบ ให้ $u = g(x)$ แล้ว $du = g'(x)\,dx$:

$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

ตัวอย่าง: $\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$ ให้ $u = x^2$, $du = 2x\,dx$ ดังนั้นปริพันธ์กลายเป็น $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$

วิธีที่ 2: การหาปริพันธ์ทีละส่วน

อิงจากกฎผลคูณสำหรับอนุพันธ์:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

เลือก $u$ และ $dv$ โดยใช้กฎ LIATE (ลอการิทึม ตรีโกณมิติผกผัน พีชคณิต ตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง)

ตัวอย่าง: $\int x \cdot e^x\,dx$ ให้ $u = x$, $dv = e^x\,dx$ แล้ว $du = dx$, $v = e^x$ ผลลัพธ์: $xe^x - e^x + C$

วิธีที่ 3: เศษส่วนย่อย

สำหรับฟังก์ชันตรรกยะ $\frac{P(x)}{Q(x)}$ ให้แยกออกเป็นเศษส่วนที่ง่ายกว่า:

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$

วิธีที่ 4: การแทนค่าตรีโกณมิติ

สำหรับฟังก์ชันปริพันธ์ที่มี $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$ หรือ $\sqrt{x^2 - a^2}$:

การเปรียบเทียบวิธี

• ลืมค่าคงตัวของการหาปริพันธ์: ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตทุกตัวต้องมี $+ C$ ปฏิยานุพันธ์เป็นตระกูลของฟังก์ชัน
• ใช้กฎกำลังไม่ถูกต้อง: $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$ ไม่ใช่ $\frac{x^0}{0}$ กฎกำลัง $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ใช้ไม่ได้เมื่อ $n = -1$
• เครื่องหมายผิดกับปริพันธ์ตรีโกณ: $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ (เครื่องหมายลบ) $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ (เครื่องหมายบวก)
• ลืมแทนค่ากลับ: เมื่อใช้การแทนค่า $u$ ให้แปลงคำตอบสุดท้ายกลับเป็นตัวแปรดั้งเดิม $x$ เสมอ
• ขอบเขตผิดในปริพันธ์จำกัดเขต: เมื่อใช้การแทนค่าในปริพันธ์จำกัดเขต ให้เปลี่ยนขอบเขตให้ตรงกับตัวแปรใหม่ หรือแทนค่ากลับก่อนหาค่า