AI Math
เปิดแอป

เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์

แก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญพร้อมเฉลยทีละขั้นตอนด้วยพลัง AI

ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพหรือ PDF

∑Math Input
dy/dx = 2xy
y'' + 4y = 0
dy/dx + y/x = x^2
y'' - 3y' + 2y = e^x

สมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร?

สมการเชิงอนุพันธ์ (DE) คือสมการที่เชื่อมโยงฟังก์ชันกับอนุพันธ์ของมัน สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรเดียว:

F(x,y,y′,y′′,…,y(n))=0F\left(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}\right) = 0

อันดับ ของ DE คืออนุพันธ์อันดับสูงสุดที่ปรากฏ ดีกรี คือกำลังของอนุพันธ์อันดับสูงสุด (เมื่อสมการเป็นพหุนามในอนุพันธ์)

ODE อันดับหนึ่ง: y′=f(x,y)y' = f(x, y)

ODE อันดับสอง: y′′+p(x)y′+q(x)y=g(x)y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)

คำตอบ คือฟังก์ชัน y(x)y(x) ที่สอดคล้องกับสมการบนช่วงหนึ่ง คำตอบทั่วไป มีค่าคงตัวใด ๆ (หนึ่งตัวต่ออันดับ) ปัญหาค่าเริ่มต้น (IVP) ระบุเงื่อนไขอย่าง y(x0)=y0y(x_0) = y_0 เพื่อกำหนด คำตอบเฉพาะ ที่ไม่ซ้ำ

สมการเชิงอนุพันธ์จำลองปรากฏการณ์ในโลกจริง: การเติบโตของประชากร การสลายตัวของกัมมันตรังสี ระบบสปริง-มวล วงจรไฟฟ้า การนำความร้อน และการไหลของของไหล

วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์

วิธีที่ 1: การแยกตัวแปร

สำหรับสมการในรูป dydx=f(x)g(y)\frac{dy}{dx} = f(x)g(y):

  1. แยก: dyg(y)=f(x) dx\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx
  2. หาปริพันธ์ทั้งสองข้าง: ∫dyg(y)=∫f(x) dx\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx

ตัวอย่าง: dydx=2xy\frac{dy}{dx} = 2xy → dyy=2x dx\frac{dy}{y} = 2x\,dx → ln⁡∣y∣=x2+C\ln|y| = x^2 + C → y=Aex2y = Ae^{x^2}

วิธีที่ 2: ตัวประกอบปริพันธ์ (เชิงเส้นอันดับหนึ่ง)

สำหรับ y′+P(x)y=Q(x)y' + P(x)y = Q(x) คูณด้วยตัวประกอบปริพันธ์ μ(x)=e∫P(x) dx\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}:

ddx[μ(x)⋅y]=μ(x)⋅Q(x)\frac{d}{dx}[\mu(x) \cdot y] = \mu(x) \cdot Q(x)

จากนั้นหาปริพันธ์ทั้งสองข้างเพื่อหา yy

ตัวอย่าง: y′+2y=e−xy' + 2y = e^{-x} ในที่นี้ P(x)=2P(x) = 2 ดังนั้น μ=e2x\mu = e^{2x} คูณ: (e2xy)′=ex(e^{2x}y)' = e^{x} หาปริพันธ์: e2xy=ex+Ce^{2x}y = e^x + C ดังนั้น y=e−x+Ce−2xy = e^{-x} + Ce^{-2x}

วิธีที่ 3: สมการลักษณะเฉพาะ (สัมประสิทธิ์คงตัว)

สำหรับ ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0 แก้สมการลักษณะเฉพาะ ar2+br+c=0ar^2 + br + c = 0:

ตัวจำแนกรากคำตอบทั่วไป
b2−4ac>0b^2 - 4ac > 0r1≠r2r_1 \neq r_2 (จริง)y=C1er1x+C2er2xy = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}
b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0r1=r2=rr_1 = r_2 = ry=(C1+C2x)erxy = (C_1 + C_2 x)e^{rx}
b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0r=α±βir = \alpha \pm \beta iy=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)

วิธีที่ 4: สัมประสิทธิ์ไม่กำหนด

สำหรับ ay′′+by′+cy=g(x)ay'' + by' + cy = g(x) เมื่อ g(x)g(x) เป็นพหุนาม เลขชี้กำลัง ไซน์ โคไซน์ หรือการรวมกัน:

  1. หาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์
  2. เดารูปคำตอบเฉพาะตาม g(x)g(x)
  3. แทนค่าและแก้หาสัมประสิทธิ์
  4. คำตอบทั่วไป = เอกพันธ์ + เฉพาะ

วิธีที่ 5: การแปรผันพารามิเตอร์

วิธีทั่วไปสำหรับ y′′+p(x)y′+q(x)y=g(x)y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x) เมื่อทราบคำตอบเอกพันธ์ y1,y2y_1, y_2:

yp=−y1∫y2gW dx+y2∫y1gW dxy_p = -y_1 \int \frac{y_2 g}{W}\,dx + y_2 \int \frac{y_1 g}{W}\,dx

โดยที่ W=y1y2′−y2y1′W = y_1 y_2' - y_2 y_1' คือรอนสเกียน

การเปรียบเทียบวิธี

วิธีใช้กับตัวบ่งชี้สำคัญ
การแยกตัวแปรy′=f(x)g(y)y' = f(x)g(y)แยกตัวแปรได้
ตัวประกอบปริพันธ์y′+P(x)y=Q(x)y' + P(x)y = Q(x)เชิงเส้นอันดับหนึ่ง
สมการลักษณะเฉพาะเอกพันธ์สัมประสิทธิ์คงตัวay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0
สัมประสิทธิ์ไม่กำหนดสัมประสิทธิ์คงตัวที่มี g(x)g(x) พิเศษข้างขวาเป็นพหุนาม/เลขชี้กำลัง/ตรีโกณ
การแปรผันพารามิเตอร์เชิงเส้นอันดับสองใด ๆไม่เอกพันธ์ทั่วไป

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและควรหลีกเลี่ยง

  • ลืมค่าคงตัวของการหาปริพันธ์: ในการแยกตัวแปร ต้องรวมค่าคงตัวก่อนแก้หา yy เพราะมันมีผลต่อรูปสุดท้ายของคำตอบ
  • ตัวประกอบปริพันธ์ผิด: ตัวประกอบปริพันธ์สำหรับ y′+P(x)y=Q(x)y' + P(x)y = Q(x) คือ e∫P(x) dxe^{\int P(x)\,dx} ตรวจให้แน่ใจว่าสมการอยู่ในรูปมาตรฐาน (สัมประสิทธิ์ของ y′y' ต้องเป็น 1) ก่อนระบุ P(x)P(x)
  • มองข้ามกรณีรากซ้ำ: เมื่อสมการลักษณะเฉพาะมีรากซ้ำ rr คำตอบที่สองคือ xerxxe^{rx} ไม่ใช่แค่ erxe^{rx} อีกครั้ง
  • เดาคำตอบเฉพาะผิด: ถ้าคำตอบ ypy_p ที่เดาเป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์อยู่แล้ว ให้คูณด้วย xx (หรือ x2x^2 หากจำเป็น) เพื่อให้ได้รูปที่ถูกต้อง
  • ละเลยเงื่อนไขเริ่มต้น: คำตอบทั่วไปมีค่าคงตัวใด ๆ ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นหลังหาคำตอบทั่วไปสมบูรณ์เท่านั้น

Examples

Step 1: แยกตัวแปร: dyy=dxx\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}
Step 2: หาปริพันธ์ทั้งสองข้าง: ln⁡∣y∣=ln⁡∣x∣+C\ln|y| = \ln|x| + C
Step 3: ยกกำลังเลขชี้กำลัง: y=Axy = Ax โดย A=eCA = e^C ใช้ y(1)=3y(1) = 3: 3=A⋅13 = A \cdot 1 ดังนั้น A=3A = 3
Answer: y=3xy = 3x

Step 1: เขียนสมการลักษณะเฉพาะ: r2+4=0r^2 + 4 = 0
Step 2: แก้: r=±2ir = \pm 2i (รากเชิงซ้อนที่ α=0\alpha = 0, β=2\beta = 2)
Step 3: คำตอบทั่วไป: y=C1cos⁡(2x)+C2sin⁡(2x)y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)
Answer: y=C1cos⁡(2x)+C2sin⁡(2x)y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)

Step 1: ระบุ P(x)=1P(x) = 1, Q(x)=e−xQ(x) = e^{-x} ตัวประกอบปริพันธ์: μ=e∫1 dx=ex\mu = e^{\int 1\,dx} = e^x
Step 2: คูณตลอด: (exy)′=ex⋅e−x=1(e^x y)' = e^x \cdot e^{-x} = 1
Step 3: หาปริพันธ์: exy=x+Ce^x y = x + C ดังนั้น y=(x+C)e−xy = (x + C)e^{-x}
Answer: y=(x+C)e−xy = (x + C)e^{-x}

Frequently Asked Questions

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรอิสระตัวเดียว สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปรอิสระสองตัวขึ้นไป เช่น สมการความร้อนหรือสมการคลื่น

อันดับคืออนุพันธ์อันดับสูงสุดที่ปรากฏในสมการ DE อันดับหนึ่งมี y' แต่ไม่มี y'' หรือสูงกว่า DE อันดับสองมี y'' แต่ไม่มี y''' หรือสูงกว่า อันดับสูงกว่าหมายถึงค่าคงตัวใด ๆ มากขึ้นในคำตอบทั่วไป

ปัญหาค่าเริ่มต้น (IVP) คือสมการเชิงอนุพันธ์พร้อมเงื่อนไขที่ระบุค่าของคำตอบ (และอาจรวมถึงอนุพันธ์) ที่จุดหนึ่ง เงื่อนไขเหล่านี้กำหนดค่าคงตัวใด ๆ ให้คำตอบเฉพาะที่ไม่ซ้ำ

ไม่ สมการเชิงอนุพันธ์ส่วนใหญ่แก้ในรูปปิดไม่ได้ มีเพียงกลุ่มพิเศษเท่านั้นที่มีคำตอบเชิงวิเคราะห์ชัดเจน สำหรับกลุ่มอื่น ใช้วิธีเชิงตัวเลขอย่างวิธีออยเลอร์หรือรุงเง-คุตตาเพื่อประมาณคำตอบ

Related Solvers

เครื่องคำนวณอนุพันธ์เครื่องคำนวณปริพันธ์เครื่องคำนวณลิมิตเครื่องคำนวณอนุกรม
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving