การหาปริพันธ์ทีละส่วน: คู่มือเชิงปฏิบัติพร้อมตัวอย่าง

การหาปริพันธ์ทีละส่วนคือกฎผลคูณที่ทำย้อนกลับ และเป็นเทคนิคการหาปริพันธ์ที่ใช้บ่อยที่สุดรองจากการแทนค่า สูตรนั้นสั้น แต่การเลือกว่าส่วนใดเป็น "u" และส่วนใดเป็น "dv" กลายเป็นศิลปะเมื่อคุณเห็นครั้งแรก คู่มือนี้พาผ่านทางลัด LIATE และตัวอย่างที่ยากขึ้นเรื่อยๆ ห้าข้อ เพื่อให้คุณจบด้วยวิธีการที่เชื่อถือได้แทนการลองผิดลองถูก

สูตร

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

แลกปริพันธ์หนึ่งกับอีกอันที่ (หวังว่า) ง่ายกว่า ศิลปะอยู่ที่การเลือก $u$ และ $dv$ — การเลือกที่ไม่ดีทำให้ปริพันธ์ใหม่ยากขึ้น

LIATE: กฎเชิงประจักษ์ที่เชื่อถือได้

เมื่อเลือก $u$ ให้เลือกฟังก์ชันที่อยู่ก่อนหน้าในรายการนี้:

Logarithmic (ลอการิทึม) > Inverse trig (ตรีโกณมิติผกผัน) > Algebraic (พีชคณิต) > Trigonometric (ตรีโกณมิติ) > Exponential (เลขชี้กำลัง)

อะไรก็ตามที่เหลือกลายเป็น $dv$ LIATE ไม่ใช่ทฤษฎีบท แต่ใช้ได้กับโจทย์ในตำราเรียนประมาณ 90%

ตัวอย่างที่ 1: $\int x e^x \, dx$ (พีชคณิต × เลขชี้กำลัง)

LIATE → พีชคณิตก่อนเลขชี้กำลัง ดังนั้น $u = x$, $dv = e^x \, dx$

• $du = dx$, $v = e^x$
• ใช้สูตร: $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$

ตัวอย่างที่ 2: $\int x \ln x \, dx$ (พีชคณิต × ลอการิทึม)

LIATE → ลอการิทึมก่อน: $u = \ln x$, $dv = x \, dx$

• $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$
• ลดรูป: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$

ตัวอย่างที่ 3: $\int x^2 \sin x \, dx$ (พีชคณิต × ตรีโกณมิติ — ใช้สองครั้ง)

$u = x^2$, $dv = \sin x \, dx$ แล้ว $du = 2x \, dx$, $v = -\cos x$

• รอบแรก: $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$
• รอบสองกับ $\int 2x \cos x \, dx$: ให้ $u = 2x$, $dv = \cos x \, dx$ แล้ว $du = 2 \, dx$, $v = \sin x$
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$
• รวมกัน: $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$

เมื่อคุณเห็นพหุนามดีกรี $n$ คูณด้วย $\sin/\cos/\exp$ คาดว่าจะต้องใช้กฎ $n$ ครั้ง

ตัวอย่างที่ 4: $\int e^x \cos x \, dx$ (กลเม็ดวนกลับ)

ทั้งสองตัวประกอบเป็นตัวเลือกที่ "ดี" เท่ากัน — ไม่มีตัวใดง่ายขึ้นเมื่อหาปริพันธ์หรืออนุพันธ์ ใช้สองครั้งแล้วดูปริพันธ์เดิมกลับมา แล้วแก้เชิงพีชคณิต

• รอบแรก: $u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$
• รอบสองกับปริพันธ์ใหม่: $u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$
• แทนกลับ: เดิม $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ เดิม
• แก้: $2 \cdot \text{เดิม} = e^x (\cos x + \sin x)$ ดังนั้น เดิม $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$

ตัวอย่างที่ 5: $\int \ln x \, dx$ (กรณี "ไม่มี dv ที่ชัดเจน")

ดูเหมือนไม่มีอะไรให้หาปริพันธ์เป็น $dv$ กลเม็ด: ใช้ $dv = dx$ (เลข "$1$" ใน $\ln x \cdot 1$)

• $u = \ln x$, $dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$

กลเม็ดเดียวกันนี้จัดการ $\int \arcsin x \, dx$, $\int \arctan x \, dx$ และอื่นๆ ที่คล้ายกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

1. ผิดเครื่องหมาย สูตรมีเครื่องหมายลบเพียงตัวเดียว — ใช้กระดาษทดเพื่อติดตาม $+/-$
2. เลือก $u$ ผิด ถ้าปริพันธ์ใหม่ยากกว่าเดิม แสดงว่าคุณเลือก $u$ และ $dv$ สลับกัน ให้สลับกัน
3. ลืม "+ C" ในปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
4. ใช้ทีละส่วนทั้งที่การแทนค่าใช้ได้ การทำทีละส่วนใช้สำหรับผลคูณที่ไม่เข้ากับรูปแบบการแทนค่า ถ้าเป็น $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$ ให้ใช้การแทนค่า

ลองด้วยตัวคุณเอง

ใส่ปริพันธ์ใดๆ ลงในเครื่องคำนวณปริพันธ์ แล้วเราจะบอกคุณว่าการแทนค่า การทำทีละส่วน หรือเศษส่วนย่อยเป็นวิธีที่ถูกต้อง — พร้อมทุกขั้นตอน

สำหรับตัวอย่างที่แก้แล้วโดยเฉพาะและหัวข้อที่เกี่ยวข้อง:

• ตัวอย่างที่แก้แล้ว: ∫ x² dx
• ตัวอย่างที่แก้แล้ว: ∫ sin(x) dx
• สรุปสูตรแคลคูลัส
• เชี่ยวชาญกฎลูกโซ่ — ญาติฝั่งการหาอนุพันธ์