AI Math
เปิดแอป

เครื่องคำนวณอนุกรม

วิเคราะห์การลู่เข้า คำนวณผลรวม และกระจายอนุกรมเทย์เลอร์/แมคลอรินพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพหรือ PDF

∑Math Input
sum of 1/n^2 from n=1 to infinity
does sum of (-1)^n / n converge?
Taylor series of sin(x) at x = 0
sum of (2/3)^n from n=0 to infinity

อนุกรมคืออะไร?

อนุกรม คือผลบวกของพจน์ของลำดับ อนุกรมอนันต์มีรูป:

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

ผลบวกย่อย คือ SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n ถ้าลำดับของผลบวกย่อยลู่เข้าสู่ลิมิตจำกัด SS เรากล่าวว่าอนุกรม ลู่เข้า และ ∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S มิฉะนั้นอนุกรม ลู่ออก

อนุกรมเรขาคณิต: อนุกรม ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n ลู่เข้าสู่ a1−r\frac{a}{1-r} เมื่อ ∣r∣<1|r| < 1

อนุกรม p: อนุกรม ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} ลู่เข้าเมื่อ p>1p > 1 และลู่ออกเมื่อ p≤1p \leq 1

อนุกรมกำลัง: อนุกรมรูป ∑n=0∞cn(x−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n ที่แทนฟังก์ชันภายในรัศมีการลู่เข้า

อนุกรมเทย์เลอร์: การกระจายอนุกรมกำลังของ f(x)f(x) รอบ x=ax = a:

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

เมื่อ a=0a = 0 เรียกว่า อนุกรมแมคลอริน

วิธีหาการลู่เข้า

การทดสอบการลู่ออก (การทดสอบพจน์ที่ n)

ถ้า lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 อนุกรมลู่ออก หมายเหตุ: ถ้าลิมิตเป็น 0 การทดสอบสรุปไม่ได้

การทดสอบอัตราส่วน

คำนวณ L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:

  • ถ้า L<1L < 1: ลู่เข้าสัมบูรณ์
  • ถ้า L>1L > 1: ลู่ออก
  • ถ้า L=1L = 1: สรุปไม่ได้

การทดสอบราก

คำนวณ L=lim⁡n→∞∣an∣nL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} กฎสรุปเหมือนการทดสอบอัตราส่วน

การทดสอบปริพันธ์

ถ้า f(n)=anf(n) = a_n เมื่อ ff เป็นบวก ต่อเนื่อง และลดลงสำหรับ x≥1x \geq 1:
∑n=1∞an ลู่เข้า  ⟺  ∫1∞f(x) dx ลู่เข้า\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ ลู่เข้า}

การทดสอบการเปรียบเทียบ

ถ้า 0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n สำหรับทุก nn:

  • ถ้า ∑bn\sum b_n ลู่เข้า แล้ว ∑an\sum a_n ลู่เข้า
  • ถ้า ∑an\sum a_n ลู่ออก แล้ว ∑bn\sum b_n ลู่ออก

การทดสอบอนุกรมสลับ (การทดสอบไลบ์นิซ)

อนุกรมสลับ ∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n ลู่เข้าถ้า:

  1. bn>0b_n > 0 สำหรับทุก nn
  2. bnb_n ลดลง
  3. lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0

อนุกรมเทย์เลอร์/แมคลอรินที่พบบ่อย

ฟังก์ชันอนุกรมแมคลอรินรัศมี
exe^x∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}∞\infty
sin⁡x\sin x∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}∞\infty
cos⁡x\cos x∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}∞\infty
11−x\frac{1}{1-x}∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n11
ln⁡(1+x)\ln(1+x)∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}11

การเลือกการทดสอบที่เหมาะสม

การทดสอบเหมาะที่สุดสำหรับตัวบ่งชี้สำคัญ
การลู่ออกการคัดออกอย่างรวดเร็วพจน์ชัดเจนว่าไม่เข้าใกล้ 0
อัตราส่วนแฟกทอเรียล เลขชี้กำลังมี n!n! หรือ rnr^n ในพจน์
รากกำลังที่ nan=[f(n)]na_n = [f(n)]^n
ปริพันธ์ฟังก์ชันลดอย่างง่ายan=f(n)a_n = f(n) หาปริพันธ์ได้ง่าย
การเปรียบเทียบพจน์คล้ายอนุกรมที่รู้จักดูเหมือนอนุกรม p หรือเรขาคณิต
สลับอนุกรมที่เครื่องหมายสลับมีตัวประกอบ (−1)n(-1)^n

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและควรหลีกเลี่ยง

  • ใช้การทดสอบการลู่ออกผิด: ถ้า lim⁡an=0\lim a_n = 0 สิ่งนี้ไม่ได้พิสูจน์การลู่เข้า อนุกรมฮาร์มอนิก ∑1/n\sum 1/n ลู่ออกแม้ว่า 1/n→01/n \to 0
  • ใช้การทดสอบอัตราส่วนเมื่อ L = 1: เมื่อลิมิตอัตราส่วนเท่ากับ 1 การทดสอบไม่ให้ข้อมูล คุณต้องใช้การทดสอบอื่น
  • สับสนการลู่เข้าสัมบูรณ์กับมีเงื่อนไข: อนุกรมลู่เข้ามีเงื่อนไขได้ (อย่างอนุกรมฮาร์มอนิกสลับ) โดยไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์
  • รัศมีการลู่เข้าผิด: อย่าลืมตรวจจุดปลายแยกกันเมื่อหาช่วงการลู่เข้า
  • เศษเหลือของอนุกรมเทย์เลอร์: พหุนามเทย์เลอร์เป็นเพียงการประมาณ สำหรับพจน์จำกัด มีพจน์เศษเหลือที่ขอบเขตของมันมีผลต่อความแม่นยำ

Examples

Step 1: ใช้การทดสอบอัตราส่วน: an+1an=(n+1)/2n+1n/2n=n+12n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}
Step 2: L=lim⁡n→∞n+12n=12<1L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1 ดังนั้นอนุกรมลู่เข้า
Step 3: ในการหาผลรวม ใช้สูตร ∑n=1∞nxn=x(1−x)2\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} โดย x=12x = \frac{1}{2}: 1/2(1/2)2=2\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2
Answer: 22

Step 1: เริ่มด้วยอนุกรมเรขาคณิต: 11−t=∑n=0∞tn\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n สำหรับ ∣t∣<1|t| < 1
Step 2: แทน t=−x2t = -x^2: 11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n
Step 3: ทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: ∑n=0∞(−1)nx2n=1−x2+x4−x6+⋯\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots สำหรับ ∣x∣<1|x| < 1
Answer: ∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} ใช้ได้สำหรับ ∣x∣<1|x| < 1

Step 1: นี่คืออนุกรมสลับที่มี bn=1nb_n = \frac{1}{\sqrt{n}}
Step 2: ตรวจสอบ: bn>0b_n > 0 ✓, bnb_n ลดลง ✓, lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0 ✓
Step 3: ตามการทดสอบอนุกรมสลับ อนุกรมลู่เข้า (มีเงื่อนไข เนื่องจาก ∑1n\sum \frac{1}{\sqrt{n}} ลู่ออกในฐานะอนุกรม p ที่ p=1/2<1p = 1/2 < 1)
Answer: อนุกรมลู่เข้ามีเงื่อนไข

Frequently Asked Questions

อนุกรมลู่เข้าถ้าผลบวกย่อยเข้าใกล้จำนวนจำกัดเมื่อคุณบวกพจน์มากขึ้น อนุกรมลู่ออกถ้าผลบวกย่อยเติบโตอย่างไม่มีขอบเขตหรือแกว่งโดยไม่ลงตัวที่ค่าใดค่าหนึ่ง

อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ประมาณฟังก์ชันที่ซับซ้อนด้วยพหุนาม ทำให้คำนวณ หาอนุพันธ์ หรือหาปริพันธ์ได้ง่ายขึ้น เป็นพื้นฐานในฟิสิกส์ วิศวกรรม และการวิเคราะห์เชิงตัวเลขสำหรับการประมาณฟังก์ชันใกล้จุดเฉพาะ

รัศมีการลู่เข้า R คือระยะทางจากจุดศูนย์กลางของอนุกรมกำลังที่อนุกรมลู่เข้าภายใน สำหรับ |x - a| < R อนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ สำหรับ |x - a| > R มันลู่ออก และที่ |x - a| = R คุณต้องตรวจจุดปลายเป็นรายตัว

ไม่ อนุกรมฮาร์มอนิก ซึ่งคือผลบวกของ 1/n จาก n=1 ถึงอนันต์ ลู่ออก แม้ว่าพจน์จะเข้าใกล้ศูนย์ แต่ก็ไม่ลดลงเร็วพอที่จะทำให้ผลรวมยังคงจำกัด นี่เป็นตัวอย่างคลาสสิกที่แสดงว่าพจน์ที่เข้าสู่ศูนย์เป็นเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับการลู่เข้า

Related Solvers

เครื่องคำนวณอนุพันธ์เครื่องคำนวณปริพันธ์เครื่องคำนวณลิมิตเครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving