กฎลูกโซ่เป็นเครื่องมือที่ใช้บ่อยที่สุดในการหาอนุพันธ์ และเป็นแหล่งความผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดด้วย เมื่อคุณซึมซับรูปแบบ "นอก-แล้ว-ใน" แล้ว คุณจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบเกือบทุกตัวได้ในสามบรรทัด คู่มือนี้แสดงรูปแบบดังกล่าว พาผ่านตัวอย่างที่ยากขึ้นเรื่อยๆ เจ็ดข้อ และระบุข้อผิดพลาดสี่ข้อที่ควรจำไว้ล่วงหน้า
กฎลูกโซ่บอกอะไร
ถ้า f f f g g g f ( g ( x ) ) f(g(x)) f ( g ( x ))
d d x f ( g ( x ) ) = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) . \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x). d x d f ( g ( x )) = f ′ ( g ( x )) ⋅ g ′ ( x ) .
พูดเป็นคำ: หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนอกที่ประเมินที่ฟังก์ชันใน แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันใน ป้าย "นอก" และ "ใน" ต่อรองไม่ได้ — สับสนกันคำตอบจะกลับด้าน
ตัวช่วยจำที่มีประโยชน์: กฎลูกโซ่คือ "อนุพันธ์นอก คูณ อนุพันธ์ใน" ไม่เคยบวก ไม่เคยมีแค่ตัวเดียว
ตัวอย่างที่แก้แล้ว (ง่าย → ยาก)
ตัวอย่าง 1: d d x sin ( 2 x ) \frac{d}{dx}\sin(2x) d x d sin ( 2 x )
นอก: sin ( u ) \sin(u) sin ( u ) u = 2 x u = 2x u = 2 x
d d u sin ( u ) = cos ( u ) \frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u) d u d sin ( u ) = cos ( u ) d d x ( 2 x ) = 2 \frac{d}{dx}(2x) = 2 d x d ( 2 x ) = 2 ผลลัพธ์: cos ( 2 x ) ⋅ 2 = 2 cos ( 2 x ) \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) cos ( 2 x ) ⋅ 2 = 2 cos ( 2 x )
ตัวอย่าง 2: d d x e x 2 \frac{d}{dx} e^{x^2} d x d e x 2
นอก: e u e^u e u u = x 2 u = x^2 u = x 2
d d u e u = e u \frac{d}{du} e^u = e^u d u d e u = e u d d x ( x 2 ) = 2 x \frac{d}{dx}(x^2) = 2x d x d ( x 2 ) = 2 x ผลลัพธ์: e x 2 ⋅ 2 x = 2 x e x 2 e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} e x 2 ⋅ 2 x = 2 x e x 2
ตัวอย่าง 3: d d x ( 3 x 2 + 1 ) 4 \frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4 d x d ( 3 x 2 + 1 ) 4
นอก: u 4 u^4 u 4 u = 3 x 2 + 1 u = 3x^2 + 1 u = 3 x 2 + 1
d d u u 4 = 4 u 3 \frac{d}{du} u^4 = 4u^3 d u d u 4 = 4 u 3 d d x ( 3 x 2 + 1 ) = 6 x \frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x d x d ( 3 x 2 + 1 ) = 6 x ผลลัพธ์: 4 ( 3 x 2 + 1 ) 3 ⋅ 6 x = 24 x ( 3 x 2 + 1 ) 3 4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3 4 ( 3 x 2 + 1 ) 3 ⋅ 6 x = 24 x ( 3 x 2 + 1 ) 3
ตัวอย่าง 4: d d x ln ( cos x ) \frac{d}{dx}\ln(\cos x) d x d ln ( cos x )
นอก: ln u \ln u ln u u = cos x u = \cos x u = cos x
d d u ln u = 1 u \frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u} d u d ln u = u 1 d d x cos x = − sin x \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x d x d cos x = − sin x ผลลัพธ์: 1 cos x ⋅ ( − sin x ) = − tan x \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x c o s x 1 ⋅ ( − sin x ) = − tan x
ตัวอย่าง 5: d d x x 2 + 1 \frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1} d x d x 2 + 1
เขียนใหม่เป็น ( x 2 + 1 ) 1 / 2 (x^2 + 1)^{1/2} ( x 2 + 1 ) 1/2
นอก: u 1 / 2 u^{1/2} u 1/2 u = x 2 + 1 u = x^2 + 1 u = x 2 + 1
อนุพันธ์นอก: 1 2 u − 1 / 2 \frac{1}{2}u^{-1/2} 2 1 u − 1/2 2 x 2x 2 x
ผลลัพธ์: 1 2 ( x 2 + 1 ) − 1 / 2 ⋅ 2 x = x x 2 + 1 \frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} 2 1 ( x 2 + 1 ) − 1/2 ⋅ 2 x = x 2 + 1 x
ตัวอย่าง 6: ลูกโซ่ซ้อน — d d x sin ( cos ( x 2 ) ) \frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2)) d x d sin ( cos ( x 2 ))
สามชั้น — ใช้กฎลูกโซ่ สองครั้ง
นอกสุด: sin ( u ) \sin(u) sin ( u ) u = cos ( x 2 ) u = \cos(x^2) u = cos ( x 2 )
d u d x = − sin ( x 2 ) ⋅ 2 x \frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x d x d u = − sin ( x 2 ) ⋅ 2 x cos ( x 2 ) \cos(x^2) cos ( x 2 ) ผลลัพธ์: cos ( cos ( x 2 ) ) ⋅ ( − sin ( x 2 ) ) ⋅ 2 x = − 2 x sin ( x 2 ) cos ( cos ( x 2 ) ) \cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2)) cos ( cos ( x 2 )) ⋅ ( − sin ( x 2 )) ⋅ 2 x = − 2 x sin ( x 2 ) cos ( cos ( x 2 ))
ตัวอย่าง 7: ลูกโซ่ + กฎผลคูณรวมกัน — d d x ( x 2 sin ( 3 x ) ) \frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr) d x d ( x 2 sin ( 3 x ) )
ใช้กฎผลคูณก่อน: ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ (fg)' = f'g + fg' ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′
f = x 2 f = x^2 f = x 2 f ′ = 2 x f' = 2x f ′ = 2 x g = sin ( 3 x ) g = \sin(3x) g = sin ( 3 x ) g ′ = 3 cos ( 3 x ) g' = 3\cos(3x) g ′ = 3 cos ( 3 x ) ผลลัพธ์: 2 x sin ( 3 x ) + x 2 ⋅ 3 cos ( 3 x ) = 2 x sin ( 3 x ) + 3 x 2 cos ( 3 x ) 2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x) 2 x sin ( 3 x ) + x 2 ⋅ 3 cos ( 3 x ) = 2 x sin ( 3 x ) + 3 x 2 cos ( 3 x )
ข้อผิดพลาดสี่ข้อที่ควรจำ
ลืมอนุพันธ์ใน การเขียน d d x sin ( 2 x ) = cos ( 2 x ) \frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x) d x d sin ( 2 x ) = cos ( 2 x ) 2 2 2 หาอนุพันธ์ของส่วนใน ก่อน แทนค่า d d x ( 3 x 2 + 1 ) 4 \frac{d}{dx}(3x^2+1)^4 d x d ( 3 x 2 + 1 ) 4 ไม่ใช่ 4 ( 6 x ) 3 4(6x)^3 4 ( 6 x ) 3 นิพจน์ใน ไม่ใช่ที่อนุพันธ์ในเข้าใจฟังก์ชันซ้อนเป็นผลคูณ sin ( 2 x ) \sin(2x) sin ( 2 x ) การประกอบ ไม่ใช่ผลคูณ ใช้กฎลูกโซ่ ไม่ใช่กฎผลคูณใส่วงเล็บกำลังตรีโกณผิด sin 2 ( x ) = ( sin x ) 2 \sin^2(x) = (\sin x)^2 sin 2 ( x ) = ( sin x ) 2 u 2 u^2 u 2 sin x \sin x sin x sin ( x 2 ) \sin(x^2) sin ( x 2 ) sin \sin sin x 2 x^2 x 2
เมื่อตัน: เคล็ดการแทนค่า
ตั้ง u = (ส่วนใน) u = \text{(ส่วนใน)} u = ( ส่วนใน ) d y d u \frac{dy}{du} d u d y d u d x \frac{du}{dx} d x d u
ลองด้วยตัวเอง
วางฟังก์ชันประกอบใดๆ ลงในเครื่องคำนวณอนุพันธ์ฟรี ของเรา แล้วดูการใช้กฎลูกโซ่แต่ละครั้งทีละขั้นตอน ใช้ร่วมกับส่วนชีตสรุปกฎลูกโซ่ ของเราเพื่ออ้างอิงเร็วระหว่างทำการบ้าน
สำหรับเนื้อหาที่เกี่ยวข้องเชิงลึก:
