กฎลูกโซ่: เมื่อใดและอย่างไรในการใช้ (พร้อมตัวอย่าง)

กฎลูกโซ่เป็นเครื่องมือที่ใช้บ่อยที่สุดในการหาอนุพันธ์ และเป็นแหล่งความผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดด้วย เมื่อคุณซึมซับรูปแบบ "นอก-แล้ว-ใน" แล้ว คุณจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบเกือบทุกตัวได้ในสามบรรทัด คู่มือนี้แสดงรูปแบบดังกล่าว พาผ่านตัวอย่างที่ยากขึ้นเรื่อยๆ เจ็ดข้อ และระบุข้อผิดพลาดสี่ข้อที่ควรจำไว้ล่วงหน้า

กฎลูกโซ่บอกอะไร

ถ้า $f$ และ $g$ หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ $f(g(x))$ คือ

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

พูดเป็นคำ: หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนอกที่ประเมินที่ฟังก์ชันใน แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันใน ป้าย "นอก" และ "ใน" ต่อรองไม่ได้ — สับสนกันคำตอบจะกลับด้าน

ตัวช่วยจำที่มีประโยชน์: กฎลูกโซ่คือ "อนุพันธ์นอก คูณ อนุพันธ์ใน" ไม่เคยบวก ไม่เคยมีแค่ตัวเดียว

ตัวอย่างที่แก้แล้ว (ง่าย → ยาก)

ตัวอย่าง 1: $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• นอก: $\sin(u)$, ใน: $u = 2x$
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$, $\frac{d}{dx}(2x) = 2$
• ผลลัพธ์: $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$

ตัวอย่าง 2: $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• นอก: $e^u$, ใน: $u = x^2$
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$
• ผลลัพธ์: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$

ตัวอย่าง 3: $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• นอก: $u^4$, ใน: $u = 3x^2 + 1$
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$, $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$
• ผลลัพธ์: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$

ตัวอย่าง 4: $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• นอก: $\ln u$, ใน: $u = \cos x$
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
• ผลลัพธ์: $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$

ตัวอย่าง 5: $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• เขียนใหม่เป็น $(x^2 + 1)^{1/2}$
• นอก: $u^{1/2}$, ใน: $u = x^2 + 1$
• อนุพันธ์นอก: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$ ใน: $2x$
• ผลลัพธ์: $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

ตัวอย่าง 6: ลูกโซ่ซ้อน — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

สามชั้น — ใช้กฎลูกโซ่ สองครั้ง

• นอกสุด: $\sin(u)$, ใน $u = \cos(x^2)$
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ (กฎลูกโซ่กับ $\cos(x^2)$)
• ผลลัพธ์: $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$

ตัวอย่าง 7: ลูกโซ่ + กฎผลคูณรวมกัน — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• ใช้กฎผลคูณก่อน: $(fg)' = f'g + fg'$
• $f = x^2$, $f' = 2x$ $g = \sin(3x)$ ด้วยกฎลูกโซ่ $g' = 3\cos(3x)$
• ผลลัพธ์: $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$

ข้อผิดพลาดสี่ข้อที่ควรจำ

1. ลืมอนุพันธ์ใน การเขียน $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ คือข้อผิดพลาดกฎลูกโซ่ที่พบบ่อยที่สุด ตัวประกอบ $2$ จำเป็น
2. หาอนุพันธ์ของส่วนใน ก่อน แทนค่า $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ ไม่ใช่ $4(6x)^3$ อนุพันธ์นอกประเมินที่ นิพจน์ใน ไม่ใช่ที่อนุพันธ์ใน
3. เข้าใจฟังก์ชันซ้อนเป็นผลคูณ $\sin(2x)$ เป็น การประกอบ ไม่ใช่ผลคูณ ใช้กฎลูกโซ่ ไม่ใช่กฎผลคูณ
4. ใส่วงเล็บกำลังตรีโกณผิด $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — นอกคือ $u^2$ ในคือ $\sin x$ สับสนง่ายกับ $\sin(x^2)$ ที่นอกคือ $\sin$ และในคือ $x^2$

เมื่อตัน: เคล็ดการแทนค่า

ตั้ง $u = \text{(ส่วนใน)}$ หา $\frac{dy}{du}$ และ $\frac{du}{dx}$ แล้วคูณกัน แม้ฟังก์ชันจะดูน่ากลัว การแทนค่าแบบกลไกนี้ใช้ได้เสมอ

ลองด้วยตัวเอง

วางฟังก์ชันประกอบใดๆ ลงในเครื่องคำนวณอนุพันธ์ฟรีของเรา แล้วดูการใช้กฎลูกโซ่แต่ละครั้งทีละขั้นตอน ใช้ร่วมกับส่วนชีตสรุปกฎลูกโซ่ของเราเพื่ออ้างอิงเร็วระหว่างทำการบ้าน

สำหรับเนื้อหาที่เกี่ยวข้องเชิงลึก:

• เครื่องคำนวณลิมิต — ลิมิตเป็นรากฐานของกฎลูกโซ่
• เครื่องคำนวณปริพันธ์ — การแทนค่าคือกฎลูกโซ่ที่ทำย้อนกลับ
• ตัวอย่างที่แก้แล้ว: อนุพันธ์ของ sin(2x)
• ตัวอย่างที่แก้แล้ว: อนุพันธ์ของ e^(2x)