เครื่องคำนวณการหารสังเคราะห์

การหารสังเคราะห์ เป็นทางลัดสำหรับการหารพหุนาม $p(x)$ ด้วยตัวประกอบเชิงเส้น $x - k$ เร็วกว่าการหารยาวและให้ผลหารและเศษเหมือนกัน เพียงแต่เขียนน้อยกว่า

กำหนด $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ หารด้วย $x - k$ การหารสังเคราะห์ให้:

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

โดยที่ $q(x)$ คือผลหาร (ดีกรี $n - 1$) และ $r$ คือเศษที่เป็นค่าคงตัว

การใช้งานสำคัญ:

1. การหารพหุนามอย่างรวดเร็ว เมื่อตัวหารเป็นเชิงเส้น $x - k$
2. หาค่า $p(k)$ — ตามทฤษฎีบทเศษเหลือ $p(k) = r$ ดังนั้นเศษคือค่าของฟังก์ชันพอดี
3. แยกตัวประกอบพหุนาม — ถ้า $r = 0$ แล้ว $(x - k)$ เป็นตัวประกอบ และ $q(x)$ บอกตัวประกอบร่วม
4. หารากตรรกยะ ร่วมกับทฤษฎีบทรากตรรกยะ

การตั้ง

ในการหาร $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ ด้วย $x - k$:

1. เขียนศูนย์ของตัวหาร $k$ ไว้ทางซ้าย
2. ระบุสัมประสิทธิ์ของ $p(x)$ ทางขวา รวมถึงศูนย์สำหรับพจน์ที่หายไป

ขั้นตอนวิธี

1. ดึงสัมประสิทธิ์แรก ($a_n$) ลงมาโดยไม่เปลี่ยน
2. คูณด้วย $k$ และเขียนผลลัพธ์ใต้สัมประสิทธิ์ถัดไป ($a_{n-1}$)
3. บวกในคอลัมน์ เขียนผลบวกในแถวล่าง
4. ทำซ้ำ: คูณผลบวกนั้นด้วย $k$ เขียนใต้สัมประสิทธิ์ถัดไป บวก
5. ดำเนินต่อจนเสร็จสิ้นสัมประสิทธิ์ทั้งหมด

การอ่านผลลัพธ์

แถวล่างประกอบด้วย:

• $n$ ค่าแรก: สัมประสิทธิ์ของผลหาร $q(x)$ (เรียงจากดีกรีมากไปน้อย)
• ค่าสุดท้าย: เศษ $r$

ตัวอย่าง: $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

สัมประสิทธิ์ของ $x^3 + 0x^2 - 4x + 5$: $[1, 0, -4, 5]$ ศูนย์ของตัวหาร: $k = 2$

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

ผลหาร: $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$ เศษ: $5$

ดังนั้น $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$

ความเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทเศษเหลือ

เศษ $r$ ใน $p(x) = (x - k)q(x) + r$ เท่ากับ $p(k)$ แทน $x = k$:

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

ดังนั้นการหารสังเคราะห์เป็นวิธีรวดเร็วในการหาค่า $p(k)$ โดยไม่ต้องแทนค่า

ทฤษฎีบทตัวประกอบ

ผลสืบเนื่อง: $(x - k)$ เป็นตัวประกอบของ $p(x)$ ก็ต่อเมื่อ $p(k) = 0$ ก็ต่อเมื่อเศษของการหารสังเคราะห์เป็น $0$

• ลืมตัวแทนค่าศูนย์: สำหรับ $p(x) = x^3 - 4x + 5$ คุณต้องใส่ $0$ สำหรับพจน์ $x^2$ ที่หายไป มิฉะนั้นคอลัมน์จะเรียงไม่ตรง
• เครื่องหมายผิดที่ $k$: ในการหารด้วย $x - 2$ ใช้ $k = 2$ (ศูนย์ของตัวหาร) ในการหารด้วย $x + 3$ ใช้ $k = -3$
• ใช้โดยตรงกับตัวหาร $ax - k$ ไม่ได้: การหารสังเคราะห์ตามที่สอนใช้ได้กับ $x - k$ (สัมประสิทธิ์นำเป็น 1) สำหรับ $ax - k$ ให้ดึง $a$ ออกก่อนหรือใช้การหารยาวพหุนาม
• ลืมดึงสัมประสิทธิ์แรกลงมา: ขั้นแรกคือ 'ดึง $a_n$ ลงมา' เสมอ — ยังไม่ต้องคูณอะไร
• อ่านผลหารผิด: $n$ ค่าแรกของแถวล่างเป็นสัมประสิทธิ์ และ ดีกรีลดลง 1 พหุนามดีกรี 4 หารด้วย $x - k$ ให้ผลหารดีกรี 3