เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบ คือกระบวนการแตกนิพจน์พหุนามให้เป็นผลคูณของนิพจน์ที่ง่ายกว่าซึ่งเรียกว่า ตัวประกอบ เป็นกระบวนการย้อนกลับของการกระจาย (คูณกระจายออก)

ตัวอย่างเช่น:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

ด้านซ้ายเป็นพหุนามตัวเดียว ด้านขวาเป็นนิพจน์เดียวกันที่เขียนเป็นผลคูณของพหุนามสองพจน์สองตัว

การแยกตัวประกอบจำเป็นในพีชคณิตเพราะช่วยให้เรา:

• แก้สมการ: การให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับศูนย์ให้รากของสมการ
• ทำให้เศษส่วนเป็นรูปอย่างง่าย: ตัดตัวประกอบร่วมในนิพจน์ตรรกยะ
• วิเคราะห์พฤติกรรม: ระบุศูนย์ เส้นกำกับ และการเปลี่ยนเครื่องหมาย

พหุนามจะ แยกตัวประกอบสมบูรณ์ เมื่อตัวประกอบแต่ละตัวลดทอนต่อไม่ได้ (แยกตัวประกอบต่อบนจำนวนเต็มไม่ได้) ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต รับประกันว่าพหุนามดีกรี $n$ ทุกตัวสามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้พอดี $n$ ตัวบนจำนวนเชิงซ้อน

ประเภทการแยกตัวประกอบที่พบบ่อยได้แก่:

• การดึงตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ออก
• การแยกตัวประกอบพหุนามสามพจน์
• ผลต่างกำลังสอง: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
• ผลบวก/ผลต่างกำลังสาม
• การแยกตัวประกอบด้วยการจัดกลุ่ม

นี่คือเทคนิคการแยกตัวประกอบหลัก เรียงจากง่ายที่สุดไปยากที่สุด:

1. ดึง ห.ร.ม. ออก

เริ่มต้นด้วยการดึงตัวหารร่วมมากออกเสมอ

ตัวอย่าง: $6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)$

2. ผลต่างกำลังสอง

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

ตัวอย่าง: $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$

3. พหุนามสามพจน์กำลังสองสมบูรณ์

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

ตัวอย่าง: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

4. การแยกตัวประกอบพหุนามสามพจน์ ($x^2 + bx + c$)

หาจำนวนสองจำนวน $p$ และ $q$ ที่ $p + q = b$ และ $p \cdot q = c$:

$x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$

ตัวอย่าง: $x^2 - 5x + 6$: หา $p + q = -5$ และ $pq = 6$ → $p = -2, q = -3$

ดังนั้น $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

5. วิธี AC (สำหรับ $ax^2 + bx + c$ ที่ $a \neq 1$)

คูณ $a \cdot c$ หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ $ac$ และบวกกันได้ $b$ จากนั้นแยกและจัดกลุ่ม

ตัวอย่าง: $2x^2 + 7x + 3$: $ac = 6$ หา $1 + 6 = 7$

• $2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x+1) + 3(2x+1) = (x+3)(2x+1)$

6. ผลบวก/ผลต่างกำลังสาม

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

7. การแยกตัวประกอบด้วยการจัดกลุ่ม

จัดกลุ่มพจน์เป็นคู่ ๆ แล้วแยกตัวประกอบแต่ละคู่ จากนั้นดึงพหุนามสองพจน์ที่เป็นตัวร่วมออก

• ลืมดึง ห.ร.ม. ออกก่อน: ตรวจหาตัวประกอบร่วมก่อนใช้เทคนิคอื่นเสมอ
• สับสนผลต่างกับผลบวกกำลังสอง: $a^2 - b^2$ แยกตัวประกอบได้ แต่ $a^2 + b^2$ แยกไม่ได้ บนจำนวนจริง
• เครื่องหมายผิดในการแยกตัวประกอบพหุนามสามพจน์: เมื่อ $c > 0$ และ $b < 0$ ทั้ง $p$ และ $q$ เป็นค่าลบ
• หยุดเร็วเกินไป: ตรวจว่าตัวประกอบแต่ละตัวยังแยกต่อได้หรือไม่ (เช่น $x^4 - 16 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x+2)(x-2)$)
• ไม่ตรวจสอบด้วยการกระจาย: คูณตัวประกอบของคุณกลับออกมาเสมอเพื่อยืนยันว่าเท่ากับนิพจน์ดั้งเดิม