เครื่องคำนวณรูปความชันและจุดตัดแกน

รูปความชันและจุดตัดแกน ของสมการเชิงเส้นในสองตัวแปรคือ:

$y = mx + b$

โดยที่:

• $m$ คือ ความชัน — เส้นขึ้นหรือลงชันแค่ไหน ความชัน $= \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$
• $b$ คือ จุดตัดแกน y — ค่า $y$ ที่เส้นตัดแกน y (จุด $(0, b)$)

ทำไมรูปนี้จึงพิเศษ: มันอ่านข้อมูลเชิงเรขาคณิตสองชิ้นได้ทันที — ความชันและจุดตัดแกน y — โดยไม่ต้องคำนวณใด ๆ ในทางตรงกันข้าม รูปมาตรฐาน $Ax + By = C$ ปิดบังทั้งสองอย่าง

รูปความชันและจุดตัดแกนเป็นรูปที่นิยมใช้งานสำหรับการวาดกราฟเส้น การเปรียบเทียบความสัมพันธ์แบบขนาน/ตั้งฉาก และการเขียนสมการจากคำอธิบาย

กรณีที่ 1: จากสมการในรูปมาตรฐาน

กำหนด $Ax + By = C$ แก้หา $y$:

$By = -Ax + C \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$

ดังนั้น $m = -A/B$ และ $b = C/B$

กรณีที่ 2: จากจุดสองจุด

กำหนด $(x_1, y_1)$ และ $(x_2, y_2)$:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

จากนั้นใช้จุดใดจุดหนึ่งเพื่อแก้หา $b$:

$b = y_1 - m x_1$

กรณีที่ 3: จากความชันและจุดหนึ่งจุด

กำหนดความชัน $m$ และจุด $(x_0, y_0)$:

$b = y_0 - m x_0$

กรณีที่ 4: จากกราฟ

อ่านจุดตัดแกน y โดยตรงจากจุดที่เส้นตัดแกน y เลือกจุดแลตทิซอีกจุดและนับ $\text{rise} / \text{run}$ เพื่อหา $m$

กรณีพิเศษ

• เส้นแนวนอน $y = c$: ความชัน $m = 0$ จุดตัดแกน y $b = c$
• เส้นแนวตั้ง $x = c$: ความชัน ไม่นิยาม เขียนเป็น $y = mx + b$ ไม่ได้

เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก

เส้นสองเส้น $y = m_1 x + b_1$ และ $y = m_2 x + b_2$ เป็น:

• เส้นขนาน ก็ต่อเมื่อ $m_1 = m_2$ (ความชันเท่ากัน จุดตัดแกนต่างกัน)
• เส้นตั้งฉาก ก็ต่อเมื่อ $m_1 m_2 = -1$ (ความชันเป็นส่วนกลับที่เป็นลบของกัน)

• เครื่องหมายความชันผิด: $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ ลบ $y$ ในลำดับเดียวกับ $x$ การกลับลำดับอันหนึ่งแต่ไม่กลับอีกอันทำให้เครื่องหมายพลิก
• หารด้วยศูนย์: ถ้า $x_1 = x_2$ เส้นเป็นแนวตั้ง — ความชันไม่นิยาม ไม่มีรูปความชันและจุดตัดแกน
• สับสนจุดตัดแกน y กับจุดตัดแกน x: $b$ คือจุดตัดแกน y จุดตัดแกน x หาได้โดยให้ $y = 0$ แล้วแก้หา $x$
• ลืมหารด้วย $B$: เมื่อแปลง $Ax + By = C$ เป็นรูปความชันและจุดตัดแกน คุณต้องหาร ทุก พจน์ด้วย $B$ ไม่ใช่แค่พจน์ $y$
• ความชันตั้งฉากผิด: ตั้งฉากหมายถึง $m_1 m_2 = -1$ ดังนั้น $m_2 = -1/m_1$ แค่พลิกเครื่องหมายหรือแค่เอาส่วนกลับไม่เพียงพอ