เครื่องคำนวณการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ คือเทคนิคทางพีชคณิตในการเขียนสมการกำลังสอง $ax^2 + bx + c$ ใหม่ให้อยู่ในรูป:

$a(x - h)^2 + k$

โดยที่ $(h, k)$ คือ จุดยอด ของพาราโบลา

ทำไมเรื่องนี้จึงสำคัญ:

• เผยให้เห็นจุดยอด (จุดต่ำสุด/สูงสุด) ของพาราโบลาได้ทันที
• ช่วยให้แก้สมการกำลังสองใด ๆ ได้โดยไม่ต้องใช้สูตรกำลังสอง
• เป็นเทคนิคพื้นฐานที่ใช้ พิสูจน์ สูตรกำลังสอง
• ใช้ในการหาค่า $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ ในแคลคูลัส (ลดรูปเป็น arctan)
• จำเป็นต่อการเข้าใจปริพันธ์เกาส์เซียนและหัวข้อต่าง ๆ ในฟิสิกส์

เอกลักษณ์หลักที่ทำให้มันใช้ได้:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

กรณีที่ 1: สัมประสิทธิ์นำเท่ากับ 1

สำหรับ $x^2 + bx + c$:

1. นำครึ่งหนึ่งของ $b$ มายกกำลังสอง: $(b/2)^2$
2. บวกและลบปริมาณนี้: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$
3. จัดกลุ่มกำลังสองสมบูรณ์: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$

ตัวอย่าง: $x^2 + 6x + 5$

• ครึ่งหนึ่งของ 6 คือ 3 ยกกำลังสองได้ 9
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

รูปจุดยอด: $(x + 3)^2 - 4$ จุดยอดที่ $(-3, -4)$

กรณีที่ 2: สัมประสิทธิ์นำไม่เท่ากับ 1

สำหรับ $ax^2 + bx + c$, $a \neq 1$:

1. ดึง $a$ ออกจากสองพจน์แรก: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$
2. ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ภายในวงเล็บ: ครึ่งหนึ่งของ $b/a$ คือ $b/(2a)$ ยกกำลังสองได้ $b^2/(4a^2)$
3. บวกและลบภายในวงเล็บ: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$
4. ทำให้เป็นรูปอย่างง่าย: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

สังเกตว่าเมื่อคุณ 'ย้อนกลับ' พจน์ที่บวกเข้าไป คุณต้องคูณด้วย $a$ เพราะภายในถูกคูณด้วย $a$

การแก้สมการกำลังสอง

สำหรับ $ax^2 + bx + c = 0$:

1. ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ให้ได้ $a(x - h)^2 + k = 0$
2. แยกพจน์กำลังสองให้อยู่โดดเดี่ยว: $(x - h)^2 = -k/a$
3. ถอดรากที่สอง: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$
4. แก้หา: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$

นี่คือสิ่งที่สูตรกำลังสองทำในนิพจน์เดียวที่กระชับ

• ลืมรักษาสมดุล: เมื่อคุณบวก $(b/2)^2$ คุณต้องลบมันออกด้วย มิฉะนั้นคุณได้เปลี่ยนนิพจน์ไปแล้ว
• จัดการสัมประสิทธิ์ผิด: ถ้า $a \neq 1$ คุณต้องดึง $a$ ออกจากสองพจน์แรก ก่อน ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จากนั้นคูณค่าแก้ไขด้วย $a$ ตอนกระจายกลับ
• เครื่องหมายผิดกับ $\pm$: หลังถอดรากที่สอง ต้องเก็บทั้งสองสาขา การละ $\pm$ ทำให้สูญเสียคำตอบหนึ่งค่า
• ครึ่งหนึ่งของ $b$ กับ $b/2a$: เมื่อสัมประสิทธิ์นำเป็น 1 ให้ใช้ครึ่งหนึ่งของ $b$ เมื่อไม่ใช่ ให้ดึงตัวประกอบก่อน — แล้วใช้ครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ใหม่
• ลืมทำให้ค่าคงตัวเป็นรูปอย่างง่าย: หลังทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ให้รวมค่าคงตัวที่เหลือเป็น $k$ ค่าเดียว