เครื่องคำนวณค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์ ของจำนวนจริง $x$ เขียนแทนด้วย $|x|$ คือระยะทางจาก $0$ บนเส้นจำนวน:

$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$

สมบัติสำคัญ:

• $|x| \geq 0$ สำหรับทุก $x$ โดยจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ $x = 0$
• $|xy| = |x||y|$ (สมบัติการคูณ)
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (อสมการสามเหลี่ยม)
• $|x|^2 = x^2$ ดังนั้น $|x| = \sqrt{x^2}$

การตีความเชิงเรขาคณิต: $|a - b|$ คือระยะทางระหว่างจำนวน $a$ และ $b$ บนเส้นจำนวน นี่จึงเป็นเหตุผลที่อสมการค่าสัมบูรณ์แปลงเป็นข้อความเกี่ยวกับระยะทางได้อย่างเรียบร้อย

ค่าสัมบูรณ์ขยายไปถึงจำนวนเชิงซ้อน ($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$) และเวกเตอร์ (นอร์มแบบยูคลิด) แต่ในที่นี้เรามุ่งเน้นที่กรณีค่าจริงซึ่งใช้ในการบ้านส่วนใหญ่

แบบที่ 1: สมการค่าสัมบูรณ์

$|f(x)| = c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว

• ถ้า $c < 0$: ไม่มีคำตอบ (ค่าสัมบูรณ์ไม่มีทางเป็นค่าลบ)
• ถ้า $c = 0$: แก้ $f(x) = 0$
• ถ้า $c > 0$: แยกออกเป็นสองกรณี: $f(x) = c$ หรือ $f(x) = -c$ แก้แต่ละกรณีและเก็บคำตอบที่ถูกต้องทั้งหมด

ตัวอย่าง: $|2x - 3| = 7$ แยกเป็น $2x - 3 = 7$ หรือ $2x - 3 = -7$ ได้ $x = 5$ หรือ $x = -2$

แบบที่ 2: อสมการแบบน้อยกว่า

$|f(x)| < c$ (หรือ $\leq$) เมื่อ $c > 0$

สมมูลกับ: $-c < f(x) < c$ (อสมการประกอบ แบบ AND)

ความหมายเชิงเรขาคณิต: $f(x)$ อยู่ภายในระยะทาง $c$ จาก $0$

ตัวอย่าง: $|2x + 1| < 7$ กลายเป็น $-7 < 2x + 1 < 7$ ได้ $-4 < x < 3$

ถ้า $c \leq 0$ จะไม่มีคำตอบ (หรือมีเพียง $f(x) = 0$ ถ้า $c = 0$)

แบบที่ 3: อสมการแบบมากกว่า

$|f(x)| > c$ (หรือ $\geq$) เมื่อ $c \geq 0$

สมมูลกับ: $f(x) < -c$ หรือ $f(x) > c$ (การแยก แบบ OR)

ตัวอย่าง: $|3x - 6| \geq 9$ กลายเป็น $3x - 6 \leq -9$ หรือ $3x - 6 \geq 9$ ได้ $x \leq -1$ หรือ $x \geq 5$

ถ้า $c < 0$ จำนวนจริงทุกตัวจะสอดคล้องกับอสมการ

กรณีพลิกแพลง: ค่าสัมบูรณ์ทั้งสองข้าง

$|f(x)| = |g(x)|$ แยกเป็น $f(x) = g(x)$ หรือ $f(x) = -g(x)$

การตรวจสอบคำตอบ

ให้แทนค่ากลับเข้าไปในสมการ ดั้งเดิม เสมอ การยกกำลังสองหรือการแยกกรณีอาจทำให้เกิดคำตอบแปลกปลอมในบางสถานการณ์

• ลืมกรณีค่าลบ: $|x| = 5$ มีคำตอบ สองค่า คือ $x = 5$ และ $x = -5$ ผู้เริ่มต้นมักเขียนแค่ค่าบวก
• ใช้ AND กับ OR สลับกัน: $|x| < c$ ใช้ AND (อยู่ระหว่าง $-c$ และ $c$); $|x| > c$ ใช้ OR (น้อยกว่า $-c$ หรือมากกว่า $c$) การสลับกันให้คำตอบที่ผิด
• ลืมว่า $c$ ต้องไม่เป็นค่าลบ: $|f(x)| = -3$ ไม่มีคำตอบเพราะ $|f(x)| \geq 0$ เสมอ
• สับสนเรื่องเครื่องหมายในกรณีค่าลบ: $|2x - 3| = 7$ ให้ $2x - 3 = -7$ ไม่ใช่ $-(2x) - 3 = 7$ ต้องกลับเครื่องหมายของ นิพจน์ทั้งก้อน ให้เท่ากับ $-c$
• มองข้ามคำตอบแปลกปลอม: หลังแก้แล้ว ให้แทนค่ากลับเข้าไปในสมการดั้งเดิมเสมอ ถ้าโครงสร้างค่าสัมบูรณ์อาศัยว่า $f(x)$ ไม่เป็นค่าลบ ให้ตรวจสอบข้อนี้