Интегрирование по частям: практическое руководство с примерами

Интегрирование по частям — это правило произведения, запущенное в обратную сторону, и это самый используемый приём интегрирования после замены переменной. Формула короткая, но выбор того, какая часть будет «u», а какая «dv», превращается в искусство, когда вы видите её впервые. Это руководство проходит через мнемонику LIATE и пять усложняющихся примеров, чтобы вы закончили с надёжным методом, а не с методом проб и ошибок.

Формула

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Меняйте один интеграл на другой, который (надеюсь) проще. Искусство — в выборе $u$ и $dv$: плохой выбор делает новый интеграл сложнее.

LIATE: надёжное эмпирическое правило

При выборе $u$ предпочитайте функции, стоящие раньше в этом списке:

Логарифмические > Обратные тригонометрические > Алгебраические > Тригонометрические > Экспоненциальные

То, что осталось, становится $dv$. LIATE — не теорема, но она работает примерно для 90 % учебных задач.

Пример 1: $\int x e^x \, dx$ (алгебраическая × экспоненциальная)

LIATE → алгебраическая раньше экспоненциальной, поэтому $u = x$, $dv = e^x \, dx$.

• $du = dx$, $v = e^x$.
• Применяем: $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$.

Пример 2: $\int x \ln x \, dx$ (алгебраическая × логарифмическая)

LIATE → логарифм первым: $u = \ln x$, $dv = x \, dx$.

• $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
• Упрощаем: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.

Пример 3: $\int x^2 \sin x \, dx$ (алгебраическая × тригонометрическая — применяем дважды)

$u = x^2$, $dv = \sin x \, dx$. Тогда $du = 2x \, dx$, $v = -\cos x$.

• Первый проход: $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$.
• Второй проход для $\int 2x \cos x \, dx$: пусть $u = 2x$, $dv = \cos x \, dx$. Тогда $du = 2 \, dx$, $v = \sin x$.
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$.
• Объединяем: $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$.

Когда вы видите многочлен степени $n$, умноженный на $\sin/\cos/\exp$, ожидайте, что правило придётся применить $n$ раз.

Пример 4: $\int e^x \cos x \, dx$ (приём с петлёй)

Оба множителя одинаково «хорошие» кандидаты — ни один не становится проще при интегрировании или дифференцировании. Примените дважды и наблюдайте, как исходный интеграл возвращается, затем решите алгебраически.

• Первый проход: $u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$.
• Второй проход для нового интеграла: $u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$.
• Подставляем обратно: исходный $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ исходный.
• Решаем: $2 \cdot \text{исходный} = e^x (\cos x + \sin x)$, поэтому исходный $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$.

Пример 5: $\int \ln x \, dx$ (случай «нет очевидного dv»)

Кажется, что нечего интегрировать как $dv$. Приём: используйте $dv = dx$ (та самая «$1$» в $\ln x \cdot 1$).

• $u = \ln x$, $dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$.
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$.

Этот же приём справляется с $\int \arcsin x \, dx$, $\int \arctan x \, dx$ и подобными.

Частые ошибки

1. Ошибки со знаками. В формуле один знак минус — используйте черновик, чтобы отслеживать $+/-$.
2. Неправильный выбор $u$. Если новый интеграл сложнее исходного, вы выбрали $u$ и $dv$ наоборот. Поменяйте их местами.
3. Забывают «+ C» в неопределённых интегралах.
4. Используют интегрирование по частям там, где сработала бы замена переменной. Интегрирование по частям предназначено для произведений, не подходящих под шаблон u-замены. Если $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$, используйте замену.

Попробуйте сами

Введите любой интеграл в калькулятор интегралов, и мы покажем вам, что является правильным ходом — замена переменной, по частям или разложение на простейшие дроби, плюс каждый шаг.

Для конкретных разобранных примеров и связанных тем:

• Разобранный пример: ∫ x² dx
• Разобранный пример: ∫ sin(x) dx
• Шпаргалка по формулам анализа
• Освоение цепного правила — родственник со стороны дифференцирования