Калькулятор квадратных уравнений

Квадратное уравнение — это многочленное уравнение второй степени вида:

$ax^2 + bx + c = 0$

где $a$, $b$ и $c$ — константы, и $a \neq 0$.

Графиком квадратного уравнения является парабола — U-образная кривая, ветви которой направлены вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$. Решения (также называемые корнями или нулями) — это значения x, в которых парабола пересекает ось x.

Существует четыре основных метода:

1. Формула корней квадратного уравнения

Наиболее универсальный метод. Для $ax^2 + bx + c = 0$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$ определяет количество решений:

• $\Delta > 0$: два различных действительных корня
• $\Delta = 0$: один кратный действительный корень
• $\Delta < 0$: два комплексно-сопряжённых корня

2. Разложение на множители

Если квадратный трёхчлен можно представить как $(x - r_1)(x - r_2) = 0$, то корни — $r_1$ и $r_2$.

Пример: $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) = 0$ → $x = -2$ или $x = -3$

3. Выделение полного квадрата

Перепишите $ax^2 + bx + c = 0$ в вид $(x + p)^2 = q$, затем решите, извлекая корень.

4. Графический метод

Постройте график $y = ax^2 + bx + c$ и найдите точки пересечения с осью x.

• Забывают, что $a \neq 0$: если $a = 0$, уравнение становится линейным.
• Ошибки знака в формуле: будьте внимательны с $-b$ — если $b$ отрицательно, то $-b$ положительно.
• Забывают $\pm$: формула даёт два решения. Не теряйте ни одного.
• Не упрощают радикалы: всегда упрощайте $\sqrt{b^2 - 4ac}$ как можно больше.
• Ошибки деления: помните, что нужно делить весь числитель на $2a$.