Калькулятор вероятности

Вероятность измеряет, насколько вероятно наступление события. Она выражается числом от $0$ до $1$ (или эквивалентно от $0\%$ до $100\%$).

$P(A) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число возможных исходов}}$

Ключевые понятия

• Пространство элементарных событий $S$: множество всех возможных исходов
• Событие $A$: подмножество пространства элементарных событий
• Дополнение $A'$: событие, что $A$ НЕ происходит; $P(A') = 1 - P(A)$

Типы вероятности

• Теоретическая вероятность: основана на рассуждениях о равновозможных исходах (например, у честной монеты $P(\text{орёл}) = \frac{1}{2}$)
• Экспериментальная вероятность: основана на наблюдаемых частотах из экспериментов
• Субъективная вероятность: основана на личном суждении или экспертизе

Правила вероятности

• $0 \le P(A) \le 1$ для любого события $A$
• $P(S) = 1$ (что-то должно произойти)
• $P(\emptyset) = 0$ (невозможное событие)

Базовая вероятность

Для равновозможных исходов:

$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{общие исходы}}$

Правило сложения (ИЛИ)

Для вероятности того, что произойдёт событие $A$ или событие $B$:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Если $A$ и $B$ несовместны (не могут произойти вместе):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Правило умножения (И)

Для вероятности того, что произойдут оба события $A$ и $B$:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Если $A$ и $B$ независимы:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Условная вероятность

Вероятность $A$ при условии, что $B$ произошло:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Биномиальная вероятность

Вероятность ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях, каждое с вероятностью $p$:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

где $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Сводная таблица

• Предполагают независимость событий, когда её нет — извлечение карт без возвращения меняет вероятности после каждого извлечения.
• Забывают вычесть пересечение в правиле сложения — когда события могут произойти вместе, нужно вычесть $P(A \cap B)$, чтобы избежать двойного подсчёта.
• Путают «и» с «или» — «и» означает, что оба события происходят (умножайте вероятности для независимых событий); «или» означает, что происходит хотя бы одно (складывайте вероятности).
• Не учитывают все возможные исходы в пространстве элементарных событий — убедитесь, что правильно подсчитываете общее число, особенно с сочетаниями и размещениями.
• Путают направление условной вероятности — $P(A|B)$ не то же самое, что $P(B|A)$.