AI Math
Открыть приложение

Калькулятор тройных интегралов

Вычисляйте тройные интегралы в декартовых, цилиндрических или сферических координатах с пошаговыми решениями на основе ИИ

Перетащите или нажмите , чтобы добавить изображения или PDF

∑Math Input
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

Что такое тройной интеграл?

Тройной интеграл расширяет понятие одинарных и двойных интегралов на три измерения. Для функции f(x,y,z)f(x, y, z), определённой на пространственной области E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3:

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

даёт суммарное накопление ff по EE. Бесконечно малый элемент объёма dVdV становится dx dy dzdx\,dy\,dz в декартовых координатах, но может быть переписан в зависимости от геометрии EE.

Распространённые физические смыслы:

  • Если f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1, интеграл даёт объём области EE.
  • Если f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) — плотность, он даёт полную массу.
  • Моменты, центры масс и моменты инерции — всё это тройные интегралы взвешенных функций плотности.

Ключ к вычислению тройного интеграла — выбор подходящей системы координат и правильная расстановка пределов.

Как составлять и вычислять тройные интегралы

Шаг 1: Выберите координаты

Геометрия областиЛучшие координатыЭлемент объёма
Параллелепипед / произвольнаяДекартовы (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
Цилиндрическая симметрияЦилиндрические (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
Сферическая симметрияСферические (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Шаг 2: Расставьте пределы

Спроецируйте область на координатную плоскость, чтобы определить порядок интегрирования. Для тела типа I, ограниченного сверху z=g2(x,y)z = g_2(x,y) и снизу z=g1(x,y)z = g_1(x,y):

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

Шаг 3: Вычислите итеративно

Интегрируйте сначала самый внутренний интеграл, считая внешние переменные константами. Затем продвигайтесь наружу.

Цилиндрические координаты

Используйте подстановки x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, z=zz = z:

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

Дополнительный множитель rr берётся из определителя якобиана.

Сферические координаты

Используйте x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta, y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta, z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi:

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Якобиан ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi критически важен — его пропуск является самой распространённой ошибкой.

Типичные ошибки, которых следует избегать

  • Забывают якобиан: в цилиндрических появляется множитель rr, в сферических — ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi. Пропуск этого каждый раз даёт неверный ответ.
  • Неверный порядок пределов: самые внутренние пределы могут зависеть от внешних переменных, но самые внешние пределы должны быть константами. Их перестановка порождает бессмыслицу.
  • Ошибки знака с sin⁡φ\sin\varphi: в сферических φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] (поэтому sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0). Использование φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] неверно.
  • Смешение соглашений: в одних учебниках φ\varphi — полярный угол (от оси z), в других — азимутальный. Придерживайтесь одного соглашения.
  • Не рисуют область: для нетривиальных тел быстрый рисунок спасает вас от невозможных пределов.

Examples

Step 1: Запишите повторный интеграл: ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: Проинтегрируйте по zz: ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: Проинтегрируйте по yy: ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: Проинтегрируйте по xx: ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: В сферических: 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1, 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: Объём = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: Внутренний: ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: Средний: ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: Внешний: ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: Произведение: 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: Перейдите к цилиндрическим: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi, 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: Интеграл = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: Внутренний: ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: Средний: ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: Внешний: ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

Используйте цилиндрические, когда область обладает вращательной симметрией вокруг оси z, но без особой радиальной структуры (цилиндры, параболоиды, конусы над/под диском). Используйте сферические, когда область ограничена сферами, конусами из начала координат или обладает полной 3D радиальной симметрией (шары, сферические оболочки).

Якобиан — это определитель, корректирующий элемент объёма при смене координат. В цилиндрических он равен r, в сферических — ρ² sin φ. Без него интеграл измеряет неверный объём.

Посмотрите на область: интегрируйте сначала переменную с пределами, зависящими от других (самую внутреннюю), затем продвигайтесь наружу. Самая внешняя переменная должна иметь постоянные пределы. Если один порядок приводит к некрасивым пределам, поменяйте порядок, используя рисунок области.

Да, если подынтегральная функция может быть отрицательной. Для вычислений объёма подынтегральная функция равна 1, и ответ всегда положителен. Для физических величин вроде потока со знаком или результирующей силы отрицательные значения возможны и осмысленны.

Related Solvers

Калькулятор интеграловКалькулятор производныхКалькулятор рядов
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving