Калькулятор частных производных

Частная производная измеряет, как функция нескольких переменных изменяется по одной переменной при фиксированных остальных. Для $f(x, y)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

Обозначение $\partial$ (округлая d) отличает частные производные от обыкновенных производных $\frac{d}{dx}$. Эквивалентные обозначения включают $f_x$, $\partial_x f$, $D_x f$.

Геометрический смысл: $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ — это угловой коэффициент поверхности $z = f(x,y)$ в точке $(a,b)$ в направлении $x$ — касательная прямая лежит в плоскости $y = b$.

Почему это важно: градиентный спуск, оптимизация, распространение ошибок и большая часть векторного анализа опираются на частные производные. Градиент $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ указывает в направлении наискорейшего возрастания.

Правило 1: Считайте остальные переменные константами

Чтобы найти $\frac{\partial f}{\partial x}$, считайте $y, z, \ldots$ константами и дифференцируйте $f$ как функцию одной переменной $x$.

Пример: $f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ (слагаемое $3y$ исчезает, так как не содержит $x$)
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$ ($x^2$ выступает коэффициентом)

Правило 2: Цепное правило и правило произведения по-прежнему применяются

Для $f(x, y) = \sin(xy)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

$y$ внутри скобок считается постоянным коэффициентом при дифференцировании $xy$ по $x$.

Производные высших порядков

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

Теорема Клеро (о смешанных производных): если $f$ имеет непрерывные вторые частные производные, то $f_{xy} = f_{yx}$. Порядок дифференцирования не имеет значения.

Градиент и производная по направлению

Градиент — это вектор всех первых частных производных:

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

Производная по направлению в направлении $\mathbf{u}$ (единичный вектор):

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

Максимальна, когда $\mathbf{u}$ направлен вдоль $\nabla f$ — это направление наискорейшего возрастания.

Цепное правило (для нескольких переменных)

Если $z = f(x, y)$ и $x = x(t), y = y(t)$:

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• Дифференцируют не ту переменную: всегда определяйте, какая переменная «активна», а какие фиксированы. Подчёркивание активной переменной в черновике помогает.
• Забывают цепное правило: $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$, а не просто $\cos(xy)$.
• Путают обозначения: $f_{xy}$ означает сначала продифференцировать по $x$, затем по $y$ (в некоторых учебниках наоборот — проверяйте соглашение).
• Неверное направление градиента: $\nabla f$ указывает в направлении наискорейшего возрастания, а не движения. Чтобы минимизировать, двигайтесь против $\nabla f$.
• Смешивают частную и полную производные: когда $x$ и $y$ оба зависят от $t$, используйте цепное правило, а не $\partial f/\partial t$, которая равна нулю, если $f$ не содержит явно $t$.