Калькулятор ряда Тейлора

Ряд Тейлора представляет функцию как бесконечный многочлен, построенный из производных функции в одной точке $a$:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Когда $a = 0$, ряд называется рядом Маклорена:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

Почему это важно: ряды Тейлора превращают вычисления над возможно сложными функциями ($\sin x$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{1 + x}$) в вычисления над многочленами, с которыми справляются компьютеры и люди. Они являются основой численных методов, асимптотических разложений и теории приближений.

Многочлен Тейлора степени $n$ — это частичная сумма, сохраняющая члены до $(x-a)^n$. Это наилучшее многочленное приближение $f$ вблизи $a$ в точном смысле (совпадение значения и первых $n$ производных).

Шаг 1: Вычислите производные в точке разложения

Для $f(x)$ и точки разложения $a$ вычислите $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$.

Шаг 2: Подставьте в формулу

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Распространённые ряды Маклорена для запоминания

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

Радиус сходимости

Ряд Тейлора сходится только в пределах радиуса сходимости $R$ вокруг $a$. Найдите его с помощью признака Даламбера:

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

За пределами этого радиуса ряд расходится и не представляет функцию. Внутри сходимость обычно равномерна на компактных подмножествах.

Преобразование известных рядов

Для скорости подставляйте, дифференцируйте или интегрируйте известные ряды вместо вычисления производных с нуля:

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ (подстановка $-x^2$ в $e^x$)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• Забывают факториал: $n$-й член содержит $\frac{1}{n!}$, а не только производную. Пропуск этого даёт совершенно неверный ответ.
• Используют ряд за пределами радиуса сходимости: $\frac{1}{1-x}$ не равно $\sum x^n$, когда $|x| > 1$ — там ряд расходится.
• Забывают центрировать в $a$: ряд Тейлора вокруг $a$ использует степени $(x-a)$, а не $x$.
• Путают степень и число членов: многочлен Тейлора степени $n$ имеет $n+1$ член (степени от $0$ до $n$).
• Ошибки знака при подстановке: $\sin(-x) = -\sin(x)$, поэтому ряд $\sin(-x)$ имеет перевёрнутые чередующиеся знаки по сравнению с $\sin(x)$.