Калькулятор двойных интегралов

Двойной интеграл вычисляет накопление функции $f(x, y)$ по двумерной области $D$:

$\iint_D f(x,y)\,dA$

где $dA$ — бесконечно малый элемент площади. В декартовых координатах $dA = dx\,dy$; в полярных координатах $dA = r\,dr\,d\theta$.

Распространённые физические смыслы:

• $f(x,y) = 1$ даёт площадь области $D$.
• $f(x,y) = h(x,y)$ (функция высоты) даёт объём под поверхностью $z = h(x,y)$ над $D$.
• $f = \rho(x,y)$ (поверхностная плотность) даёт массу тонкой пластины.

Ключевые навыки: выбрать координаты, расставить пределы и вычислить как повторные одинарные интегралы по теореме Фубини.

Теорема Фубини

Для непрерывной $f$ по прямоугольнику $D = [a, b] \times [c, d]$:

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

Подходит любой порядок, поэтому выбирайте тот, который проще интегрировать.

Области типа I и типа II

Тип I ($y$ ограничен кривыми от $x$):

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

Тип II ($x$ ограничен кривыми от $y$):

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

Полярные координаты

Для областей с круговой симметрией используйте $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dA = r\,dr\,d\theta$:

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

Множитель $r$ из якобиана существенно важен — его пропуск является самой распространённой ошибкой.

Когда менять порядок интегрирования

Если внутренний интеграл становится неразрешимым (например, $\int e^{x^2}\,dx$ не имеет элементарной первообразной), смена порядка интегрирования часто делает задачу разрешимой. Сначала нарисуйте область, чтобы найти эквивалентные пределы в другом порядке.

• Неверный порядок пределов: внутренние пределы могут зависеть от внешних переменных, но внешние пределы должны быть константами. Перепутаны = неверный ответ.
• Забывают полярный якобиан: $dA = r\,dr\,d\theta$, а не $dr\,d\theta$.
• Не рисуют область: для непрямоугольной $D$ рисунок делает выбор между типом I и типом II очевидным.
• Пытаются интегрировать невозможные внутренние функции: если вы наткнулись на $\int e^{x^2}\,dx$ или подобный неэлементарный подынтегральный, поменяйте порядок, прежде чем сдаваться.
• Ошибки знака с отрицательными подынтегральными функциями: если $f$ меняет знак на $D$, двойной интеграл может быть равен нулю — это правильно, а не ошибка, которую нужно «исправлять».