Калькулятор модуля числа

Модуль (абсолютная величина) действительного числа $x$, обозначаемый $|x|$, — это его расстояние от $0$ на числовой прямой:

$|x| = \begin{cases} x & \text{если } x \geq 0 \\ -x & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ключевые свойства:

• $|x| \geq 0$ для всех $x$, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда $x = 0$.
• $|xy| = |x||y|$ (мультипликативность).
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (неравенство треугольника).
• $|x|^2 = x^2$, поэтому $|x| = \sqrt{x^2}$.

Геометрический смысл: $|a - b|$ — это расстояние между числами $a$ и $b$ на числовой прямой. Именно поэтому неравенства с модулем чётко переводятся в утверждения о расстоянии.

Модуль обобщается на комплексные числа ($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$) и на векторы (евклидова норма), но здесь мы сосредоточимся на действительном случае, используемом в большинстве заданий.

Тип 1: Уравнение с модулем

$|f(x)| = c$, где $c$ — константа.

• Если $c < 0$: нет решений (модуль не может быть отрицательным).
• Если $c = 0$: решите $f(x) = 0$.
• Если $c > 0$: разбейте на два случая: $f(x) = c$ или $f(x) = -c$. Решите каждый и сохраните все допустимые решения.

Пример: $|2x - 3| = 7$ разбивается на $2x - 3 = 7$ или $2x - 3 = -7$, что даёт $x = 5$ или $x = -2$.

Тип 2: Неравенство «меньше чем»

$|f(x)| < c$ (или $\leq$), где $c > 0$.

Эквивалентно: $-c < f(x) < c$ (двойное неравенство, И).

Геометрический смысл: $f(x)$ находится на расстоянии менее $c$ от $0$.

Пример: $|2x + 1| < 7$ становится $-7 < 2x + 1 < 7$, что даёт $-4 < x < 3$.

Если $c \leq 0$, решений нет (или только $f(x) = 0$, если $c = 0$).

Тип 3: Неравенство «больше чем»

$|f(x)| > c$ (или $\geq$), где $c \geq 0$.

Эквивалентно: $f(x) < -c$ или $f(x) > c$ (дизъюнкция, ИЛИ).

Пример: $|3x - 6| \geq 9$ становится $3x - 6 \leq -9$ или $3x - 6 \geq 9$, что даёт $x \leq -1$ или $x \geq 5$.

Если $c < 0$, неравенству удовлетворяет любое действительное число.

Сложный случай: модуль с обеих сторон

$|f(x)| = |g(x)|$ разбивается на $f(x) = g(x)$ или $f(x) = -g(x)$.

Проверка решений

Всегда подставляйте обратно в исходное уравнение. Возведение в квадрат или разбиение на случаи в некоторых ситуациях может приводить к посторонним решениям.

• Пропуск отрицательного случая: $|x| = 5$ имеет два решения, $x = 5$ и $x = -5$. Новички часто записывают только положительное.
• Перепутывание И и ИЛИ: $|x| < c$ использует И (между $-c$ и $c$); $|x| > c$ использует ИЛИ (меньше $-c$ или больше $c$). Их перестановка даёт неверные ответы.
• Забывают, что $c$ должно быть неотрицательным: $|f(x)| = -3$ не имеет решений, потому что $|f(x)| \geq 0$ всегда.
• Путаница со знаком в отрицательном случае: $|2x - 3| = 7$ даёт $2x - 3 = -7$, а не $-(2x) - 3 = 7$. Меняйте знак у всего выражения, приравнивая его к $-c$.
• Пропуск посторонних решений: после решения всегда подставляйте обратно в исходное уравнение. Если структура модуля опиралась на неотрицательность $f(x)$, проверьте это.