Калькулятор упрощения выражений

Упростить алгебраическое выражение — значит переписать его в более коротком, чистом или более стандартном виде, не меняя его значения. Упрощённую форму легче читать, вычислять и использовать в дальнейших расчётах.

Распространённые операции упрощения включают:

• Приведение подобных слагаемых: $3x + 5x = 8x$
• Сокращение общих множителей: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = x - 3$ (для $x \neq -3$)
• Понижение степеней: $\frac{x^5}{x^2} = x^3$
• Раскрытие скобок и приведение: $(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1$

Упрощённое выражение эквивалентно исходному для всех значений из области определения. Обратите внимание: «простейший вид» может зависеть от контекста — иногда проще форма с разложением на множители, иногда — раскрытая форма.

Упрощение — это основной алгебраический навык, используемый при решении уравнений, вычислении пределов, интегрировании функций и ясном изложении математических результатов.

1. Приведение подобных слагаемых

Сгруппируйте слагаемые с одинаковой переменной и степенью, затем сложите их коэффициенты.

Пример: $3x^2 + 2x - x^2 + 5x - 7 = 2x^2 + 7x - 7$

2. Применение правил степеней

Ключевые правила:

• $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$
• $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
• $(x^a)^b = x^{ab}$

Пример: $\frac{x^5 \cdot x^2}{x^4} = x^{5+2-4} = x^3$

3. Разложение на множители и сокращение

Для рациональных выражений разложите числитель и знаменатель на множители, затем сократите общие множители.

Пример: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x - 3$ (для $x \neq -3$)

4. Раскрытие произведений

Используйте распределительный закон или специальные формулы:

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Пример: $(2x+3)^2 - 4x^2 = 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 = 12x + 9$

5. Избавление от иррациональности в знаменателе

Устраните радикалы из знаменателя, умножив на сопряжённое выражение:

$\frac{1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

6. Упрощение сложных дробей

Умножьте числитель и знаменатель на НОЗ всех внутренних дробей.

• Сокращение слагаемых вместо множителей: $\frac{x + 3}{x + 5} \neq \frac{3}{5}$. Можно сокращать только общие множители всего числителя и знаменателя.
• Забывают об ограничениях области определения: при сокращении $(x+3)$ в $\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}$ учтите, что в исходном выражении $x \neq -3$.
• Неверная арифметика степеней: $x^2 \cdot x^3 = x^5$, а не $x^6$. И $\frac{x^5}{x^2} = x^3$, а не $x^{2.5}$.
• Распределение степени по сумме: $(x + y)^2 \neq x^2 + y^2$. Правильное раскрытие — $x^2 + 2xy + y^2$.
• Останавливаются слишком рано: всегда проверяйте, можно ли упростить результат далее (например, вынести оставшийся НОД).