Неравенства простыми словами: линейные, двойные, квадратные

Неравенства выглядят точно так же, как уравнения, пока вы не дойдёте до правила, которое подбрасывает вас среди ночи: когда вы умножаете или делите на отрицательное число, направление неравенства меняется на противоположное. Это руководство проходит через линейные, двойные и квадратные неравенства и через приёмы, которые решают 95% домашних заданий.

Единственное правило, которое все забывают

Для уравнений: каждая операция сохраняет равенство. $5 = 5$ влечёт $5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1)$ — обе части одинаково меняют знак, равенство сохраняется.

Для неравенств: умножение или деление обеих частей на отрицательное число меняет направление. $5 > 3$ верно, но умножим обе части на $-1$ и получим $-5 > -3$, что неверно. Правильное утверждение — $-5 < -3$.

Это единственное правило — источник большинства ошибок в неравенствах. Доведите его до автоматизма:

• Прибавить/вычесть что угодно → знак не меняется.
• Умножить/разделить на положительное → знак не меняется.
• Умножить/разделить на отрицательное → меняем знак неравенства.

Линейные неравенства

Решайте так же, как линейные уравнения, следя за сменой знака.

Пример 1: $3x + 5 > 14$.

• Вычитаем 5: $3x > 9$.
• Делим на $3$ (положительное, без смены): $x > 3$.
• Множество решений: $(3, \infty)$ — открытая скобка означает, что $x = 3$ не входит.

Пример 2 (со сменой знака): $-2x + 7 \leq 1$.

• Вычитаем 7: $-2x \leq -6$.
• Делим на $-2$ (отрицательное — МЕНЯЕМ): $x \geq 3$.
• Множество решений: $[3, \infty)$ — квадратная скобка из-за $\leq$, включая $3$.

Двойные неравенства

«Двойное» неравенство соединяет два простых неравенства через И или ИЛИ.

И часто записывают одной цепочкой: $-1 < 2x + 3 \leq 7$. Действуйте над всеми тремя частями одновременно.

• Вычитаем 3 везде: $-4 < 2x \leq 4$.
• Делим на 2 везде: $-2 < x \leq 2$.
• Решение: $(-2, 2]$.

ИЛИ остаётся двумя отдельными неравенствами. Решение — это объединение обоих отдельных множеств решений:

$x < -3$ или $x > 5$ → решение $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$.

Квадратные неравенства

Для $x^2 + bx + c > 0$ (или любого неравенства $\neq 0$):

1. Найдите корни уравнения $x^2 + bx + c = 0$.
2. Отметьте корни на числовой прямой — они делят её на интервалы.
3. Проверьте точку в каждом интервале, чтобы понять, положителен квадратный трёхчлен там или отрицателен.
4. Выберите интервалы, соответствующие направлению неравенства.

Пример: $x^2 - 5x + 6 > 0$.

• Разложим на множители: $(x - 2)(x - 3) > 0$. Корни в $x = 2$ и $x = 3$.
• Проверяем интервалы:
  • $x = 0$: $(0-2)(0-3) = 6 > 0$ ✓
  • $x = 2.5$: $(0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$ ✗
  • $x = 4$: $(2)(1) = 2 > 0$ ✓
• Решение: $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Для неравенств $\leq$ или $\geq$ включайте корни (замкнутые интервалы): $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Изображение решений на числовой прямой

• Пустой кружок (○) у значения, которое не входит ($<$ или $>$).
• Закрашенный кружок (●) у значения, которое входит ($\leq$ или $\geq$).
• Стрелка, уходящая в бесконечность в направлении решения.

Двойное И → отрезок между двумя кружками. Двойное ИЛИ → два отдельных луча, расходящихся наружу.

Неравенства с модулем

$|x - a| < b$ раскрывается как $-b < x - a < b$, то есть $a - b < x < a + b$ — ограниченный интервал.

$|x - a| > b$ раскрывается как $x - a < -b$ ИЛИ $x - a > b$, то есть $x < a - b$ ИЛИ $x > a + b$ — два луча, расходящихся наружу.

Частые ошибки

1. Забыли поменять знак при делении на отрицательное. Самый крупный источник неверных ответов в неравенствах.
2. Неверно включают концевые точки. $<$ против $\leq$ важно — от этого зависит тип скобки.
3. Относятся к двойному И как к равенству. $-2 < x < 5$ — это единое утверждение; его нельзя разбить на «$x = -2$ или $x = 5$».
4. Решают квадратные неравенства как уравнения. Приравняв $x^2 - 4 > 0$ «к нулю», получаем корни $\pm 2$; решение неравенства — это не $\{-2, 2\}$, а интервалы между ними и вокруг них.

Попробуйте сами

Введите любое неравенство (линейное, двойное, квадратное, с модулем) в наш бесплатный решатель неравенств — ИИ корректно меняет знаки и показывает каждый шаг, плюс график решения на числовой прямой.

Связанные материалы:

• Глоссарий: неравенство
• Глоссарий: модуль
• Калькулятор квадратных уравнений — используйте в паре с версией для неравенств