Решатель неравенств

Неравенство — это математическое утверждение, сравнивающее два выражения с помощью одного из символов:

• $<$ (меньше)
• $>$ (больше)
• $\leq$ (меньше или равно)
• $\geq$ (больше или равно)

В отличие от уравнений (которые спрашивают «при каких значениях обе части равны?»), неравенства спрашивают «при каких значениях одна часть больше (или меньше) другой?»

Например, неравенство:

$2x - 5 > 3$

спрашивает: при каких значениях $x$ выражение $2x - 5$ больше $3$?

Решением неравенства обычно является диапазон значений (интервал), а не одно число. Решения часто записываются в интервальной записи:

• $(a, b)$: все значения строго между $a$ и $b$
• $[a, b]$: все значения от $a$ до $b$ включительно
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$: все значения меньше $a$ или больше $b$

Неравенства являются основополагающими в задачах оптимизации, задачах с ограничениями и при определении области определения и области значений функций.

1. Линейные неравенства

Решайте как линейное уравнение, с одним важным правилом: меняйте знак неравенства на противоположный при умножении или делении на отрицательное число.

Пример: Решите $2x - 5 > 3$

1. Прибавьте 5: $2x > 8$
2. Разделите на 2: $x > 4$

Решение: $(4, \infty)$

Пример со сменой знака: Решите $-3x + 6 \leq 12$

1. Вычтите 6: $-3x \leq 6$
2. Разделите на $-3$ (смените знак!): $x \geq -2$

2. Квадратные неравенства

Сначала решите соответствующее уравнение, затем проверьте интервалы.

Пример: Решите $x^2 - 4x - 5 > 0$

1. Разложите на множители: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. Критические точки: $x = -1$ и $x = 5$
3. Проверьте интервалы:
   • $x < -1$: $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$: $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$: $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

Решение: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. Рациональные неравенства

Найдите, где числитель и знаменатель равны нулю (критические точки), затем проверьте знак на каждом интервале. Никогда не умножайте обе части на выражение, которое может быть отрицательным.

4. Неравенства с модулем

• $|x| < a$ означает $-a < x < a$
• $|x| > a$ означает $x < -a$ или $x > a$

5. Метод знаков

Для многочленных/рациональных неравенств постройте таблицу знаков, показывающую знак каждого множителя на каждом интервале.

• Забывают сменить знак неравенства: когда вы умножаете или делите обе части на отрицательное число, нужно изменить направление неравенства на противоположное.
• Неправильно включают критические точки: для строгих неравенств ($<$, $>$) критические точки НЕ включаются. Для $\leq$ или $\geq$ — включаются.
• Умножают на переменную без учёта её знака: если вы умножаете обе части на $x$, нужно рассмотреть случаи $x > 0$ и $x < 0$ отдельно.
• Неправильно работают с составными неравенствами: для $a < f(x) < b$ решайте обе части одновременно, а не независимо.
• Записывают решение в неверной нотации: используйте круглые скобки для строгих неравенств и квадратные — для нестрогих.