等差数列が u3 + u5 - u6 = 6 と u8 + u4 = 52 を満たす。S = u2 + u4 + u6 + ... + u2020 を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   すべての条件を $u_1$ と $d$ で書き直す。 $u_k=u_1+(k-1)d$ を使うと $u_3+u_5-u_6=(u_1+2d)+(u_1+4d)-(u_1+5d)=u_1+d=6$ $u_8+u_4=(u_1+7d)+(u_1+3d)=2u_1+10d=52\ \Longrightarrow\ u_1+5d=26$ となる。

2. 2

   2 元 1 次の連立方程式を解く。 2 つ目から 1 つ目を引くと $4d=20$ なので $d=5,\qquad u_1=6-5=1$ となる。

3. 3

   偶数番目の部分列を記述する。 $u_{2k}=1+(2k-1)\cdot 5=10k-4$ であり、これ自体が初項 $u_2=6$、公差 $10$ の等差数列である。

4. 4

   その項数を数える。 番号は $2,4,\dots,2020$、すなわち $k=1$ から $k=1010$ まで走るので $1010$ 項あり、末項は $u_{2020}=10(1010)-4=10096$ である。

5. 5

   等差数列の和の公式を適用する。 $S=\frac{1010}{2}\left(u_2+u_{2020}\right)=505\,(6+10096)=505\cdot 10102=5101510$

6. 6

   直接和をとって確認する。 Python で $1010$ 項すべてを足しても $5101510$ が返るので、答えは B である。