부분적분: 예제로 배우는 실전 가이드

부분적분은 곱의 미분 법칙을 거꾸로 돌린 것이며, 치환에 이어 가장 많이 쓰이는 적분 기법입니다. 공식은 짧지만, 어느 부분을 "u"로 하고 어느 것을 "dv"로 할지 고르는 것은 처음 봤을 때 하나의 기술이 됩니다. 이 가이드는 LIATE 단축법과 점점 어려워지는 다섯 가지 예제를 다루므로, 시행착오 대신 믿을 수 있는 방법을 익히고 끝낼 수 있습니다.

공식

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

하나의 적분을 (운이 좋으면) 더 쉬운 다른 적분과 맞바꿉니다. 기술은 $u$ 와 $dv$ 를 고르는 데 있습니다——잘못 고르면 새 적분이 더 어려워집니다.

LIATE: 믿을 수 있는 경험 법칙

$u$ 를 고를 때는 이 목록에서 앞에 있는 함수를 우선합니다:

Logarithmic(로그) > Inverse trig(역삼각) > Algebraic(대수) > Trigonometric(삼각) > Exponential(지수)

남는 것이 $dv$ 가 됩니다. LIATE는 정리는 아니지만, 교과서 문제의 약 90%에서 통합니다.

예제 1: $\int x e^x \, dx$ (대수 × 지수)

LIATE → 대수가 지수보다 먼저이므로 $u = x$, $dv = e^x \, dx$.

• $du = dx$, $v = e^x$.
• 적용: $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$.

예제 2: $\int x \ln x \, dx$ (대수 × 로그)

LIATE → 로그를 먼저: $u = \ln x$, $dv = x \, dx$.

• $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
• 간단히: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.

예제 3: $\int x^2 \sin x \, dx$ (대수 × 삼각 —— 두 번 적용)

$u = x^2$, $dv = \sin x \, dx$. 그러면 $du = 2x \, dx$, $v = -\cos x$.

• 첫 번째: $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$.
• $\int 2x \cos x \, dx$ 에 대한 두 번째: $u = 2x$, $dv = \cos x \, dx$ 로 둡니다. 그러면 $du = 2 \, dx$, $v = \sin x$.
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$.
• 종합하면: $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$.

차수 $n$ 의 다항식에 $\sin/\cos/\exp$ 가 곱해진 것을 보면, 이 법칙을 $n$ 번 적용할 것으로 예상하세요.

예제 4: $\int e^x \cos x \, dx$ (순환 기법)

두 인수 모두 똑같이 "좋은" 후보입니다——적분하든 미분하든 어느 쪽도 더 간단해지지 않습니다. 두 번 적용하면 원래 적분이 되돌아오는 것을 보고, 대수적으로 풉니다.

• 첫 번째: $u = \cos x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$.
• 새 적분에 대한 두 번째: $u = \sin x$, $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$.
• 대입해서 되돌리기: 원래 적분 $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ 원래 적분.
• 풀기: $2 \cdot \text{원래 적분} = e^x (\cos x + \sin x)$, 따라서 원래 적분 $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$.

예제 5: $\int \ln x \, dx$ ("명백한 dv가 없는" 경우)

$dv$ 로 적분할 것이 아무것도 없는 것처럼 보입니다. 기법: $dv = dx$ 를 사용합니다($\ln x \cdot 1$ 의 "$1$").

• $u = \ln x$, $dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$.
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$.

이 같은 기법은 $\int \arcsin x \, dx$, $\int \arctan x \, dx$ 등도 다룰 수 있습니다.

흔한 실수

1. 부호 오류. 공식에는 마이너스 부호가 하나만 있습니다——연습 종이를 사용해 $+/-$ 를 추적하세요.
2. $u$ 를 잘못 고름. 새 적분이 원래보다 어렵다면, $u$ 와 $dv$ 를 거꾸로 고른 것입니다. 서로 바꾸세요.
3. 부정적분에서 "+ C"를 잊음.
4. 치환으로 될 일에 부분적분을 사용함. 부분적분은 u 치환 패턴에 맞지 않는 곱을 위한 것입니다. $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$ 라면 치환을 사용하세요.

직접 해 보세요

아무 적분이나 적분 계산기에 입력하면, 치환, 부분적분, 부분분수 중 어느 것이 옳은 수인지를——모든 단계와 함께——보여 드립니다.

구체적인 풀이 예제와 관련 주제는 다음을 참고하세요:

• 풀이 예제: ∫ x² dx
• 풀이 예제: ∫ sin(x) dx
• 미적분 공식 치트시트
• 연쇄 법칙 정복 —— 미분에서의 사촌