等脚台形の上底が 4、下底が 4 + 2r、2 本の脚がいずれも長さ 2r である。この台形の面積と周の長さを r で表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   周の長さは 4 辺を足すだけで求まる。 ここでは高さは要らない：

   $P=4+(4+2r)+2r+2r=8+6r.$

2. 2

   はみ出しを分けて直角三角形を作る。 下底は上底より $(4+2r)-4=2r$ だけ長い。等脚台形ではこの超過分が左右で等分されるので、片側のはみ出しは

   $\frac{2r}{2}=r.$

   である。上底の各頂点から垂線を下ろすと、斜辺が $2r$（脚）、水平な辺が $r$ の直角三角形ができる。

3. 3

   三平方の定理で高さを求める。

   $h^{2}+r^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}\;\Longrightarrow\;h^{2}=3r^{2}\;\Longrightarrow\;h=r\sqrt3.$

   比 $r:r\sqrt3:2r$ は 30-60-90 の直角三角形なので、脚は長い方の底辺とちょうど $60^{\circ}$ で交わる。これは $r$ によらないので、どの $r$ に対しても形は相似になる。

4. 4

   台形の面積公式を当てはめる。

   $A=\frac12\bigl(\text{上底}+\text{下底}\bigr)h=\frac12\bigl(4+4+2r\bigr)\bigl(r\sqrt3\bigr)=\frac12\cdot 2(4+r)\cdot r\sqrt3=\sqrt3\,r(r+4).$

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   具体的な値で公式を検算し、条件も押さえる。 $r>0$ ならば高さ $r\sqrt3$ は正なので、どの値でも本物の台形になる。$r=1$ をとると、上底と下底は $4$ と $6$、脚は $2$、高さは $\sqrt3=1.7320508$ である。周の長さ $=4+6+2+2=14=8+6(1)$ ✓、面積 $=\tfrac12(10)(1.7320508)=8.660254$ に対し $\sqrt3(1)(5)=8.660254$ ✓ となる。