AI Math
アプリを開く

三重積分計算機

AI による step-by-step の解説付きで、直交座標・円柱座標・球座標での三重積分を評価します

ドラッグ＆ドロップ、または クリック して画像や PDF を追加

∑Math Input
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

三重積分とは何か？

三重積分は、単積分と二重積分の概念を3次元に拡張したものです。R3\mathbb{R}^3 の立体領域 E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3 上で定義された関数 f(x,y,z)f(x, y, z) について：

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

は EE 全体での ff の総蓄積を与えます。微小体積要素 dVdV はデカルト座標では dx dy dzdx\,dy\,dz になりますが、EE の幾何学的形状に応じて書き換えられます。

よくある物理的意味：

  • f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1 のとき、積分は EE の体積を与えます。
  • f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) が密度なら、全質量を与えます。
  • モーメント、重心、慣性モーメントはすべて、重み付き密度関数の三重積分です。

三重積分を評価する鍵は、正しい座標系を選ぶことと境界を正しく設定することです。

三重積分の設定と評価方法

ステップ1：座標を選ぶ

領域の形状最適な座標体積要素
直方体／一般直交座標 (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
円柱対称円柱座標 (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
球対称球座標 (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

ステップ2：境界を設定する

領域を座標平面に射影して積分の順序を決めます。上が z=g2(x,y)z = g_2(x,y)、下が z=g1(x,y)z = g_1(x,y) で挟まれたタイプ I の立体について：

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

ステップ3：反復的に評価する

外側の変数を定数として扱い、最も内側から積分します。その後、外側へ進みます。

円柱座標

置換 x=rcos⁡θx = r\cos\theta、y=rsin⁡θy = r\sin\theta、z=zz = z を使います。

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

余分な因子 rr はヤコビアン行列式から来ます。

球座標

x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta、y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta、z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi を使います。

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

ヤコビアン ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi は極めて重要です — これを忘れるのが最も多い誤りです。

よくある間違い

  • ヤコビアンを忘れる：円柱座標は因子 rr、球座標は ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi が付きます。これを抜かすと毎回誤った答えになります。
  • 境界の順序の誤り：最も内側の境界は外側の変数に依存してよいですが、最も外側の境界は定数でなければなりません。これを逆にすると意味をなしません。
  • sin⁡φ\sin\varphi の符号誤り：球座標では φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi]（よって sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0）です。φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] を使うのは誤りです。
  • 規約の混在：一部の本は φ\varphi を極角（z 軸から）に、他は方位角に使います。1つの規約で一貫させてください。
  • 領域をスケッチしない：自明でない立体では、簡単なスケッチが不可能な境界を避けるのに役立ちます。

Examples

Step 1: 反復積分を設定：∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: zz について積分：∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: yy について積分：∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: xx について積分：∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: 球座標で：0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1、0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi、0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: 体積 = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: 内側：∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: 中間：∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: 外側：∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: 積：13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: 円柱座標に変換：0≤r≤10 \leq r \leq 1、0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi、0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: 積分 = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: 内側：∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: 中間：∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: 外側：∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

領域が z 軸まわりの回転対称を持つが特別な動径構造はない場合（円柱、放物面、円板の上下の円錐）は円柱座標を使います。領域が球面、原点からの円錐で囲まれているか、完全な3次元の動径対称を持つ場合（球、球殻）は球座標を使います。

ヤコビアンは、座標を変えるときに体積要素を調整する行列式です。円柱座標では r、球座標では ρ² sin φ に等しくなります。これがないと積分は誤った体積を測ります。

領域を見ます：他に依存する境界を持つ変数（最も内側）を最初に積分し、その後外側へ進みます。最も外側の変数は定数の境界を持つ必要があります。1つの順序で醜い境界になるなら、領域のスケッチを使って順序を入れ替えます。

はい、被積分関数が負になりうる場合です。体積計算では被積分関数は 1 で答えは常に正です。符号付き流束や正味の力のような物理量では、負の値が起こりえて意味を持ちます。

Related Solvers

積分計算機導関数計算機級数計算機
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving