偏微分計算機

偏微分は、他の変数を固定したまま、多変数関数が1つの変数に関してどのように変化するかを測ります。$f(x, y)$ について：

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

記号 $\partial$（丸まった d）は、偏微分を常微分 $\frac{d}{dx}$ と区別します。同等の記号には $f_x$、$\partial_x f$、$D_x f$ があります。

幾何学的意味：$\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ は、$(a,b)$ における曲面 $z = f(x,y)$ の $x$ 方向の傾きです — 接線は平面 $y = b$ 上にあります。

なぜ重要か：勾配降下法、最適化、誤差伝播、そしてベクトル解析の大部分は偏微分に基づいています。勾配 $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ は最も急な上昇方向を指します。

規則1：他の変数を定数として扱う

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めるには、$y, z, \ldots$ を定数として扱い、$f$ を $x$ の1変数関数として微分します。

例：$f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$（$3y$ は $x$ を含まないので消える）
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$（$x^2$ は係数として働く）

規則2：連鎖律と積の法則も成り立つ

$f(x, y) = \sin(xy)$ について：

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

括弧内の $y$ は、$xy$ を $x$ で微分するとき定数係数として扱われます。

高階偏微分

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

クレローの定理（混合偏微分）：$f$ が連続な2階偏微分を持つなら、$f_{xy} = f_{yx}$ です。微分の順序は関係ありません。

勾配と方向微分

勾配は、すべての1階偏微分のベクトルです。

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

方向 $\mathbf{u}$（単位ベクトル）の方向微分は：

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

$\mathbf{u}$ が $\nabla f$ の向きを指すとき最大になります — これが最も急な上昇方向です。

連鎖律（多変数）

$z = f(x, y)$ かつ $x = x(t), y = y(t)$ のとき：

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• 間違った変数を微分する：どの変数が「動いている」のか、どれが定数として保持されているのかを常に特定してください。下書きで動いている変数に下線を引くと役立ちます。
• 連鎖律を忘れる：$\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$ であり、単に $\cos(xy)$ ではありません。
• 記号の混同：$f_{xy}$ は、まず $x$ について、次に $y$ について微分することを意味します（一部の本では逆 — 規約を確認してください）。
• 誤った勾配の向き：$\nabla f$ は最も急な上昇の向きを指し、運動の向きではありません。最小化するには $\nabla f$ と逆向きに進みます。
• 偏微分と全微分の混同：$x$ と $y$ がともに $t$ に依存するときは連鎖律を使います — $f$ に明示的な $t$ がなければゼロになる $\partial f/\partial t$ ではありません。