テイラー級数計算機

テイラー級数は、関数を1点 $a$ における関数の導関数から構成される無限多項式として表します。

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

$a = 0$ のとき、この級数をマクローリン級数といいます。

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

なぜ重要か：テイラー級数は、扱いにくい可能性のある関数（$\sin x$、$e^x$、$\ln x$、$\sqrt{1 + x}$）の計算を、コンピューターも人間も扱える多項式の計算に変えます。これは数値的手法、漸近展開、近似理論の基礎です。

次数 $n$ のテイラー多項式は、$(x-a)^n$ までの項を保持した部分和です。これは、ある正確な意味で（値と最初の $n$ 個の導関数が一致する）$a$ の近くで $f$ を最もよく近似する多項式です。

ステップ1：展開点で導関数を計算する

$f(x)$ と展開点 $a$ について、$f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$ を計算します。

ステップ2：公式に代入する

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

暗記すべきよく使うマクローリン級数

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

収束半径

テイラー級数は $a$ のまわりの収束半径 $R$ の内側でのみ収束します。比判定法を使って求めます。

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

この半径の外側では、級数は発散し関数を表しません。内側では、収束は通常コンパクト部分集合上で一様です。

既知の級数を操作する

速く解くには、導関数を一から計算する代わりに、既知の級数を代入・微分・積分します。

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$（$e^x$ に $-x^2$ を代入）
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• 階乗を忘れる：第 $n$ 項には導関数だけでなく $\frac{1}{n!}$ があります。これを抜かすと大きく誤った答えになります。
• 収束半径の外側で級数を使う：$|x| > 1$ のとき $\frac{1}{1-x}$ は $\sum x^n$ に等しくありません — そこでは級数が発散します。
• $a$ を中心にし忘れる：$a$ のまわりのテイラー級数は $x$ ではなく $(x-a)$ のべき乗を使います。
• 次数と項数の混同：次数 $n$ のテイラー多項式は $n+1$ 個の項を持ちます（次数 $0$ から $n$ まで）。
• 代入の符号誤り：$\sin(-x) = -\sin(x)$ なので、$\sin(-x)$ の級数は $\sin(x)$ と比べて交互の符号が反転します。