二重積分計算機

二重積分は、関数 $f(x, y)$ を2次元の領域 $D$ 上で蓄積を計算します。

$\iint_D f(x,y)\,dA$

ここで $dA$ は微小面積要素です。デカルト座標では $dA = dx\,dy$、極座標では $dA = r\,dr\,d\theta$ です。

よくある物理的意味：

• $f(x,y) = 1$ は $D$ の面積を与えます。
• $f(x,y) = h(x,y)$（高さ関数）は $D$ の上の曲面 $z = h(x,y)$ の下の体積を与えます。
• $f = \rho(x,y)$（面密度）は薄い板の質量を与えます。

重要な技術は、座標を選び、境界を設定し、フビニの定理を使って反復1重積分として評価することです。

フビニの定理

長方形 $D = [a, b] \times [c, d]$ 上の連続関数 $f$ について：

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

どちらの順序でも成り立つので、積分しやすい方を選びます。

タイプ I とタイプ II の領域

タイプ I（$y$ が $x$ の曲線で挟まれる）：

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

タイプ II（$x$ が $y$ の曲線で挟まれる）：

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

極座標

円対称の領域では、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$、$dA = r\,dr\,d\theta$ を使います。

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

ヤコビアンによる因子 $r$ は不可欠です — これを忘れるのが最も多い誤りです。

いつ積分の順序を入れ替えるか

内側の積分が手に負えなくなった場合（例：$\int e^{x^2}\,dx$ には初等的な原始関数がない）、積分の順序を入れ替えると問題が解けるようになることがよくあります。まず領域をスケッチして、別の順序での同等な境界を見つけます。

• 境界の順序の誤り：内側の境界は外側の変数に依存してよいですが、外側の境界は定数でなければなりません。逆にすると誤った答えになります。
• 極座標のヤコビアンを忘れる：$dA = r\,dr\,d\theta$ であり、$dr\,d\theta$ ではありません。
• 領域をスケッチしない：長方形でない $D$ では、スケッチによりタイプ I とタイプ II が明確になります。
• 積分不可能な内側の関数を積分しようとする：$\int e^{x^2}\,dx$ のような非初等的な被積分関数に当たったら、諦める前に順序を入れ替えてください。
• 負の被積分関数での符号誤り：$f$ が $D$ 上で符号を変えると、二重積分はゼロになりえます — これは正しく、「修正」すべき誤りではありません。