微分方程式ソルバー

微分方程式（DE）は、関数とその導関数を関係づける方程式です。常微分方程式（ODE）は、1変数の関数を含みます。

$F\left(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}\right) = 0$

微分方程式の階数は、現れる導関数の最高次数です。次数は、最高階の導関数のべき乗です（方程式が導関数について多項式の場合）。

1階常微分方程式：$y' = f(x, y)$

2階常微分方程式：$y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$

解とは、ある区間で方程式を満たす関数 $y(x)$ です。一般解は任意定数（階数ごとに1つ）を含みます。初期値問題（IVP）は $y(x_0) = y_0$ のような条件を指定して、一意の特殊解を決定します。

微分方程式は現実世界の現象をモデル化します。人口増加、放射性崩壊、ばね・質量系、電気回路、熱伝導、流体の流れなどです。

方法1：変数分離法

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ の形の方程式の場合：

1. 分離：$\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$
2. 両辺を積分：$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$

例：$\frac{dy}{dx} = 2xy$ → $\frac{dy}{y} = 2x\,dx$ → $\ln|y| = x^2 + C$ → $y = Ae^{x^2}$

方法2：積分因子（1階線形）

$y' + P(x)y = Q(x)$ に対し、積分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$ を掛けます。

$\frac{d}{dx}[\mu(x) \cdot y] = \mu(x) \cdot Q(x)$

そして両辺を積分して $y$ を求めます。

例：$y' + 2y = e^{-x}$。ここで $P(x) = 2$ なので $\mu = e^{2x}$。掛けると $(e^{2x}y)' = e^{x}$。積分すると $e^{2x}y = e^x + C$ なので、$y = e^{-x} + Ce^{-2x}$。

方法3：特性方程式（定数係数）

$ay'' + by' + cy = 0$ に対し、特性方程式 $ar^2 + br + c = 0$ を解きます。

方法4：未定係数法

$g(x)$ が多項式、指数関数、正弦、余弦、またはそれらの組み合わせである $ay'' + by' + cy = g(x)$ の場合：

1. 同次方程式の一般解を求める
2. $g(x)$ に基づいて特殊解の形を推測する
3. 代入して係数を求める
4. 一般解 = 同次解 + 特殊解

方法5：定数変化法

同次解 $y_1, y_2$ が既知のとき、$y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$ の一般的な方法：

$y_p = -y_1 \int \frac{y_2 g}{W}\,dx + y_2 \int \frac{y_1 g}{W}\,dx$

ここで $W = y_1 y_2' - y_2 y_1'$ はロンスキアンです。

手法の比較

• 積分定数を忘れる：変数分離法では、$y$ について解く前に定数を含めなければなりません。それが最終的な解の形に影響します。
• 誤った積分因子：$y' + P(x)y = Q(x)$ の積分因子は $e^{\int P(x)\,dx}$ です。$P(x)$ を特定する前に、方程式が標準形（$y'$ の係数が 1）であることを確認してください。
• 重解の場合を見逃す：特性方程式が重解 $r$ を持つとき、2つ目の解は再び $e^{rx}$ ではなく $xe^{rx}$ です。
• 誤った特殊解の推測：$y_p$ の推測がすでに同次方程式の解である場合、有効な形にするために $x$（必要なら $x^2$）を掛けます。
• 初期条件を無視する：一般解には任意定数があります。初期条件は完全な一般解を求めた後にのみ適用してください。