関数 F(x) = 2|x + 6| − 1 を下に 7、右に 1 だけ平行移動する。移動後の関数の式を書け。

Step-by-step solution

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   もとの頂点を求める。 絶対値のグラフ $a|x-p|+q$ は $(p,q)$ で折れ曲がる。$2|x+6|-1$ を $2|x-(-6)|+(-1)$ と書き直せば、頂点が $(-6,-1)$ で縦方向に $2$ 倍に伸びていることが分かる。頂点を追うのが最終的な答えを確かめる一番速い方法である。

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   横方向の移動を適用し、向きに注意する。 グラフを 右 に $1$ 動かすには、すべての $x$ を $x-1$ で置き換える——絶対値の中の符号が逆向きに見えるため直感に反する手順である。

   $2\bigl|(x-1)+6\bigr|-1=2|x+5|-1.$

   頂点は $(-6,-1)$ から $(-5,-1)$ へ 1 だけ右に動いており、置き換えの向きが正しかったことが確かめられる。

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   縦方向の移動を適用する。 下に $7$ 動かすには関数全体から $7$ を引く。こちらは絶対値の外側に働くので、直感どおりに振る舞う。

   $2|x+5|-1-7=2|x+5|-8.$

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   頂点で確認する。 折れ点は $(-5,-8)$ にあり、$(-6,-1)$ から右に 1、下に 7 だけ動いている。要求どおりである。伸び率 $2$ は変わらない。平行移動は形も、$\pm2$ のままである 2 本の半直線の傾きも変えないからである。

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   点を 1 つ選んで検算する。 もとのグラフでは $F(-6)=2(0)-1=-1$。移動後の対応する点は $(-6+1,\,-1-7)=(-5,-8)$ のはずである。答えの式に代入すると $2|-5+5|-8=-8$ ✓。$x=-3$ でもう一度確かめると、答えの式は $2(2)-8=-4$ を与え、移動前の対応点は $x=-4$ で $F(-4)=2(2)-1=3$、$3-7=-4$ ✓。