絶対値計算機

実数 $x$ の絶対値 $|x|$ とは、数直線上で $0$ からの距離を表します。

$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$

主な性質:

• すべての $x$ に対して $|x| \geq 0$ であり、等号が成り立つのは $x = 0$ のときに限ります。
• $|xy| = |x||y|$（乗法的）。
• $|x + y| \leq |x| + |y|$（三角不等式）。
• $|x|^2 = x^2$ なので $|x| = \sqrt{x^2}$。

幾何学的な意味: $|a - b|$ は数直線上の数 $a$ と $b$ の間の距離です。そのため、絶対値の不等式は距離に関する表現にきれいに置き換えられます。

絶対値は複素数（$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$）やベクトル（ユークリッドノルム）にも拡張されますが、ここではほとんどの宿題で使われる実数の場合に焦点を当てます。

タイプ1: 絶対値方程式

$|f(x)| = c$（$c$ は定数）。

• $c < 0$ の場合: 解なし（絶対値は決して負になりません）。
• $c = 0$ の場合: $f(x) = 0$ を解きます。
• $c > 0$ の場合: 2つの場合に分けます。$f(x) = c$ または $f(x) = -c$。それぞれを解き、有効な解をすべて残します。

例: $|2x - 3| = 7$ は $2x - 3 = 7$ または $2x - 3 = -7$ に分かれ、$x = 5$ または $x = -2$ となります。

タイプ2: 「より小さい」不等式

$|f(x)| < c$（または $\leq$、$c > 0$）。

次と同値です: $-c < f(x) < c$（連立不等式、AND）。

幾何学的な意味: $f(x)$ は $0$ から距離 $c$ 以内にあります。

例: $|2x + 1| < 7$ は $-7 < 2x + 1 < 7$ となり、$-4 < x < 3$ となります。

$c \leq 0$ の場合、解はありません（$c = 0$ なら $f(x) = 0$ のみ）。

タイプ3: 「より大きい」不等式

$|f(x)| > c$（または $\geq$、$c \geq 0$）。

次と同値です: $f(x) < -c$ または $f(x) > c$（選言、OR）。

例: $|3x - 6| \geq 9$ は $3x - 6 \leq -9$ または $3x - 6 \geq 9$ となり、$x \leq -1$ または $x \geq 5$ となります。

$c < 0$ の場合、すべての実数が不等式を満たします。

注意: 両辺に絶対値

$|f(x)| = |g(x)|$ は $f(x) = g(x)$ または $f(x) = -g(x)$ に分かれます。

解の確認

常に元の方程式に代入して確認します。2乗や場合分けは、状況によっては無縁解を生じることがあります。

• 負の場合を落とす: $|x| = 5$ は2つの解、$x = 5$ と $x = -5$ を持ちます。初学者は正の解だけを書きがちです。
• AND と OR を逆にする: $|x| < c$ は AND（$-c$ と $c$ の間）を使い、$|x| > c$ は OR（$-c$ 未満または $c$ より大きい）を使います。これらを取り違えると誤った答えになります。
• $c$ が非負でなければならないことを忘れる: $|f(x)| = -3$ は解がありません。常に $|f(x)| \geq 0$ だからです。
• 負の場合の符号の混乱: $|2x - 3| = 7$ は $2x - 3 = -7$ となり、$-(2x) - 3 = 7$ ではありません。$-c$ に等しい式全体を符号反転します。
• 無縁解の見落とし: 解いた後は常に元の方程式に代入します。絶対値の構造が $f(x)$ の非負性に依存していた場合は、それを確認します。