関数 f(x) = |x − 4| − 3 を上に 6、右に 2 だけ平行移動する。移動後の関数の式を書け。

Step-by-step solution

1. 1

   もとの頂点を求める。 $f(x)=|x-h|+k$ では折れ点は $(h,k)$ にある。$f(x)=|x-4|-3$ からは $h=4$、$k=-3$ と読めるので、頂点は

   $(4,-3)$

   である。V 字の形そのものは決して変わらず、折れ点の位置だけが変わるので、頂点を追うのが平行移動を取り違えない一番速い方法である。

2. 2

   $x$ を $x-2$ に置き換えて横の移動を行う。 グラフを 右 に $2$ 動かすとは、同じ出力を得るために入力が $2$ だけ大きくなければならないということなので、置き換えでは引き算になる。

   $f(x-2)=\left|(x-2)-4\right|-3=|x-6|-3$

   多くの学習者にとってこの符号は逆向きに感じられる——右への移動は絶対値の 中で 引く——からこそ、暗記ではなく置き換えとして実行する価値がある。

3. 3

   外側に足して縦の移動を行う。 上に $6$ 動かすには出力全体に $6$ を加える。

   $|x-6|-3+6=|x-6|+3$

   縦の移動は直感どおりで、上向きなら $+$ である。

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   移動後の関数とその頂点を述べる。

   $f(x)=|x-6|+3,\qquad \text{頂点 }(6,3)$

   頂点は $(4,-3)$ から $(6,3)$ へ、右に $2$、上に $6$ 動いた——まさに指示どおりであり、これが組み込みの検算になっている。

5. 5

   テスト点で検証する。 もとのグラフでは $f(4)=|4-4|-3=-3$（折れ点）である。右に $2$、上に $6$ 動かした後の対応点は $(6,3)$ のはずで、新しい式は $|6-6|+3=3\;\checkmark$ を与える。もう 1 点確かめると、もとの $f(0)=|{-4}|-3=1$ は $(2,7)$ に移り、新しい関数は $|2-6|+3=4+3=7\;\checkmark$ を与える。