関数 f(x) = |x + 2| − 1 を x 軸に関して対称移動し、さらに 2 だけ下に平行移動する。得られる関数の式を書け。

Step-by-step solution

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   もとのグラフをつかむ。 $f(x)=|x+2|-1$ は上に開く V 字で、頂点は $(-2,-1)$ である。$|x+2|=|x-(-2)|$ から $h=-2$、末尾の $-1$ から $k=-1$ となるからである。

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   出力全体の符号を変えて $x$ 軸に関して対称移動する。 ここでつまずきやすい。マイナス符号は定数も含めた関数全体にかかるのであって、絶対値の項だけにかかるのではない。

   $-f(x)=-\left(|x+2|-1\right)=-|x+2|+1$

   この段階で $-|x+2|-1$ と書いてしまうのが典型的な誤りである。$-1$ は対称移動によって $+1$ になる。点 $(-2,-1)$ が $(-2,1)$ に移るからである。

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   2 を引いて 2 だけ下に平行移動する。

   $-|x+2|+1-2=-|x+2|-1$

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   結果とその特徴を述べる。

   $f(x)=-|x+2|-1,\qquad \text{頂点 }(-2,-1),\ \text{上に凸}$

   頂点はたまたまもとの座標に戻っている。対称移動が $-1$ から $+1$ へ持ち上げ、平行移動が $2$ だけ下げ戻したからである。しかしグラフ自体は確かに別物で、いまや逆さまの V 字である。

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   点で確かめる。 もとの $(0,f(0))=(0,1)$ は、対称移動で $(0,-1)$ になり、$2$ 下げて $(0,-3)$ になる。最終的な式では $-|0+2|-1=-2-1=-3\;\checkmark$。もとの頂点は $(-2,-1)\to(-2,1)\to(-2,-1)$ と動き、式からも $-|{-2}+2|-1=-1\;\checkmark$ となる。最大値が $-1$ なので、グラフが $x$ 軸に届くことはない。