(515 − 0.27x)(368 − 0.27x)(98 − 0.18x) − (515 − 0.27x)×98² − (98 − 0.18x)×270² = 0 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   3 つの 1 次因数に名前をつける。

   $A=515-0.27x,\qquad B=368-0.27x,\qquad C=98-0.18x,$

   とおくと、$98^{2}=9604$、$270^{2}=72900$ を使って方程式は

   $ABC-9604A-72900C=0.$

   と書ける。因数に名前をつけると計算の管理がしやすくなり、共通因数 $A$ も見えてくる。

2. 2

   $BC$ を展開してまとめる。

   $BC=(368-0.27x)(98-0.18x)=36064-92.7x+0.0486x^{2},$

   なので $BC-9604=26460-92.7x+0.0486x^{2}$ となり、方程式は

   $(515-0.27x)\bigl(0.0486x^{2}-92.7x+26460\bigr)-72900(98-0.18x)=0.$

   になる。

3. 3

   厳密な分数のまま完全に展開する。 小数ではなく $0.27=\tfrac{27}{100}$、$0.18=\tfrac{18}{100}$ として計算すれば誤差が蓄積しない。結果は

   $-0.013122x^{3}+50.058x^{2}-41762.7x+6482700=0,$

   である。元の式に $-\tfrac{500000}{6561}$ を掛けると、最高次の係数が 1 の 3 次式 $x^{3}-\tfrac{103000}{27}x^{2}+\tfrac{2320150000}{729}x-\tfrac{120050000000}{243}=0$ が得られる。

4. 4

   厳密な解を 1 つ見つける。 括弧がきれいな値になる候補を試すと、$x=\tfrac{24500}{27}$ でちょうど $0.27x=245$ になる。これを厳密な分数のまま 3 次式に代入すると $0$ になる。したがって $\left(x-\tfrac{24500}{27}\right)$ は因数であり、$x=\tfrac{24500}{27}=907.\overline{407}$ は解である。

5. 5

   割り出して 2 次方程式を解く。 組立除法により $x^{2}-\tfrac{78500}{27}x+\tfrac{4900000}{9}=0$、すなわち

   $27x^{2}-78500x+14700000=0,$

   が残る。判別式は $78500^{2}-4(27)(14700000)=4574650000$ である。$4574650000=10^{4}\cdot 457465$ であり $457465=5\cdot 91493$ は平方因数を持たないので、解は無理数のままになる。

   $x=\frac{39250\pm 50\sqrt{457465}}{27}.$

6. 6

   3 つの解を述べて検証する。 数値では $x\approx 201.1822413$、$x=907.4074074$、$x\approx 2706.2251661$ である。それぞれを 元の 積の形に代入すると、順に $0$、$-9\times10^{-10}$、$0$ になる——このごく小さな残差は、$10^{6}$ の桁の値に対する浮動小数点の誤差にすぎない。展開を誤って $-41777.7x+6479700$ としてしまうと外れる。その 3 次式は $24500/27$ を解に持たない。