多項式方程式ソルバー

多項式方程式とは、次の形の方程式です。

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$

ここで $n$ は次数と呼ばれる正の整数、$a_n \neq 0$、$a_0, a_1, \ldots, a_n$ は定数（係数）です。

多項式は次数によって分類されます。

• 1次: 一次（$ax + b = 0$）
• 2次: 二次（$ax^2 + bx + c = 0$）
• 3次: 三次（$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$）
• 4次: 四次（$ax^4 + \cdots = 0$）
• 5次以上: 五次以上

代数学の基本定理は、$n$ 次の多項式が複素数の範囲で（重複度を数えて）正確に $n$ 個の根を持つことを述べています。例えば三次方程式は常に3つの根を持ち、実数または複素数になりえます。

高次の多項式方程式は、物理学（放物運動、振動）、工学（制御システム）、経済学（最適化）、コンピュータグラフィックス（曲線の交差）に現れます。

二次式とは異なり、すべての高次多項式に通用する単一の公式はありません。主な戦略は次のとおりです。

1. 有理根定理

整数係数の $a_n x^n + \cdots + a_0 = 0$ に対して、任意の有理根 $\frac{p}{q}$ は次を満たさなければなりません。

• $p$ は $a_0$（定数項）を割り切る
• $q$ は $a_n$（最高次の係数）を割り切る

候補を試し、組立除法で次数を下げます。

例: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

• 可能な有理根: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
• $x = 1$ を試す: $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓
• $(x - 1)$ で割って $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ を得る

2. グループ分けによる因数分解

共通因数を持つグループに項を並べ替えます。

例: $x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x+1) - 4(x+1) = (x^2-4)(x+1) = (x+2)(x-2)(x+1)$

3. 置換（変装した二次式）

偶数べきだけが現れる場合、$u = x^2$ とおきます。

例: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ → $u = x^2$ とおく: $u^2 - 5u + 4 = 0$ → $(u-1)(u-4) = 0$

よって $x^2 = 1$ または $x^2 = 4$、$x = \pm 1, \pm 2$。

4. 組立除法

根 $r$ が見つかったら $(x - r)$ で割って多項式の次数を下げ、繰り返します。

5. デカルトの符号法則

$f(x)$ と $f(-x)$ の符号の変化を数えて、正および負の実根の最大数を判定します。

• 複素根を忘れる: $n$ 次多項式は $\mathbb{C}$ 上で常に $n$ 個の根を持ちます。実根しか見つからない場合、複素根は共役の対で現れます。
• 重根を見落とす: $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$ は $x = 1$ を重根として持ちます。
• 有理根候補のリストが不完全: $a_0$ の約数を $a_n$ の約数で割ったすべての組み合わせを確認します。
• 組立除法での計算ミス: 各ステップを再確認します。1つの誤った数が計算全体に伝播します。
• すべての根が有理数だと仮定する: 多くの多項式は、有理根定理だけでは見つけられない無理根や複素根を持ちます。