0.2 × 0.2 × x⁶ + x⁴ + x² − 4 = 0 を満たす x の実数値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   係数を整理し、小数を払う。 $0.2\times 0.2=0.04$ なので、方程式は $0.04x^{6}+x^{4}+x^{2}-4=0$ である。全体に $25$ を掛けると係数が整数になる：

   $x^{6}+25x^{4}+25x^{2}-100=0$

2. 2

   置き換えで次数を下げる。 $x$ の偶数乗しか現れないので $y=x^{2}$ とおく（このとき $x^{6}=y^{3}$、$x^{4}=y^{2}$）：

   $y^{3}+25y^{2}+25y-100=0$

   肝心なのは $y=x^{2}\ge 0$ という点である。実数の $x$ を生むのは非負の解 $y$ だけである。

3. 3

   有理数解を除外する。 有理根定理より候補は $100$ の約数、すなわち $\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm10,\pm20,\pm25,\pm50,\pm100$ である。どれを代入しても値は 0 にならないので、この 3 次式は有理数の範囲で因数分解できず、解は数値的に求めるほかない。

4. 4

   正の解を挟み込む。 $g(y)=y^{3}+25y^{2}+25y-100$ とおく。すると

   $g(1)=1+25+25-100=-49<0,\qquad g(2)=8+100+50-100=58>0$

   なので、中間値の定理より解は $(1,2)$ の中にある。$y>0$ では $g'(y)=3y^{2}+50y+25>0$ なので $g$ はそこで狭義単調増加であり、この解が非負の解のただ 1 つである。

5. 5

   ニュートン法で精度を上げる。 $y_{0}=1.5$ から $y\leftarrow y-\dfrac{g(y)}{g'(y)}$ を反復すると

   $y\approx 1.526734392725$

   に収束する。（3 次式の残り 2 つの解 $y\approx -2.75539$ と $y\approx -23.77135$ は負なので、実数の $x$ を与えない。）

6. 6

   置き換えを戻して確かめる。 $x^{2}=y$ より

   $x=\pm\sqrt{1.526734392725}\approx\pm 1.235610939060$

   $x=1.235610939060$ を $0.04x^{6}+x^{4}+x^{2}-4$ に戻して代入すると、計算機の精度の範囲で $0$ になる。この方程式は偶関数なので、2 つの解は原点に関して対称である。