z^4 + 2x^2 z^2 + 2y^2 z^2 - 8z = 0 のとき、z を x と y の関数として表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   共通因数 $z$ をくくり出す。 どの項も $z$ を少なくとも 1 つ含む。

   $z\left(z^{3}+2x^{2}z+2y^{2}z-8\right)=0\ \Longrightarrow\ z\left(z^{3}+2\left(x^{2}+y^{2}\right)z-8\right)=0$

   したがって $z=0$ は 1 つの分枝であり、すべての $(x,y)$ で成り立つ。残りの作業は 3 次の因数についてである。

2. 2

   極座標の動径を導入して構造を露わにする。 変数は $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ を通してしか入ってこないので、この曲面は $z$ 軸まわりに回転対称であり、3 次方程式は

   $z^{3}+2r^{2}z-8=0$

   となる。これはすでに $z^{2}$ の項を持たない 簡約形 の 3 次式 $z^{3}+pz+q=0$ であり、$p=2r^{2}$、$q=-8$ である。カルダノの公式がまさに扱う形である。

3. 3

   実数解がいくつあるかを確かめる。 3 次方程式の判別条件では

   $\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}=16+\frac{8r^{6}}{27}$

   を見る。これは 2 項とも非負で第 1 項が $16$ なので、どの $r$ に対しても正である。この値が正であることは実数解がちょうど 1 つ、複素数解が 2 つであることを意味するので、0 でないほうの分枝は一価であり、場合分けは不要である。

4. 4

   カルダノの公式を適用する。 $-\dfrac{q}{2}=4$ なので

   $z=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{8r^{6}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{8r^{6}}{27}}}$

   となる。2 つ目の立方根の中身は負になる（平方根が 4 を超えるため）が、実数の立方根としては問題ない。

5. 5

   元の変数で答えを書く。

   $f(x,y)=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{8\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{8\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}{27}}}$

6. 6

   原点で妥当性を確かめる。 $x=y=0$ では 3 次方程式は $z^{3}=8$ となり $z=2$ である。公式でも $\sqrt[3]{4+4}+\sqrt[3]{4-4}=2+0=2$ ✓。$r\to\infty$ では 2 つの立方根がほぼ打ち消し合って $z\to 0^{+}$ となり、3 次方程式の $2r^{2}z\approx 8$、すなわち $z\approx 4/r^{2}$ と整合する ✓。