(1 − 2√(b/a) + b/a) を (√a − √b) の 2 乗で割った式を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分子を完全平方として読む。 $u=\sqrt{b/a}$ とおく。すると $b/a=u^{2}$ であり、分子は

   $1-2u+u^{2}=(1-u)^{2}=\left(1-\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)^{2}.$

   となる。$1-2u+u^{2}$ という平方の形に気づくことがすべてである。気づかなければ根号は決して消えない。

2. 2

   その平方を通分して書き直す。 $a>0$ のとき $\sqrt{b/a}=\sqrt b/\sqrt a$ なので

   $1-\frac{\sqrt b}{\sqrt a}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a},\qquad\text{よって}\qquad\left(1-\sqrt{\tfrac ba}\right)^{2}=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}}{a}.$

   $(\sqrt a)^{2}=a$ に注意。最終的な答えに単独の $a$ が現れるのは、ここに由来する。

3. 3

   分母で割る。 分母は $\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right)^{2}=(\sqrt a-\sqrt b)^{2}$ であり、これはいま分子に居座っている因子そのものである：

   $\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}/a}{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}}=\frac{1}{a}.$

4. 4

   約分が正当になる条件を述べる。 $\sqrt a$ のためと $\sqrt{b/a}=\sqrt b/\sqrt a$ のために $a>0$ が、$\sqrt b$ のために $b\ge0$ が必要であった。さらに $(\sqrt a-\sqrt b)^{2}\ne0$ となって割り算が定義されるために $a\ne b$ が要る。これらの条件のもとで値は $1/a$ であり、$b$ にはまったく依存しない。

5. 5

   数値で試す。 $a=9$、$b=4$ とする。分子は $1-2\sqrt{4/9}+4/9=1-\tfrac43+\tfrac49=\tfrac19$、分母は $(3-2)^{2}=1$、商は $\tfrac19=1/a$ である。$a=4$、$b=25$ では、分子が $1-2(2.5)+6.25=2.25$、分母が $(2-5)^{2}=9$、商が $0.25=1/4$ となる。どちらも一致する。