√(3 + √5) + √(3 − √5) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   式が実数であることを確かめ、名前を付ける。 $\sqrt5\approx 2.236<3$ なので $3+\sqrt5$ も $3-\sqrt5$ も正であり、どちらの平方根も実数かつ正である。そこで

   $S=\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}$

   とおく。和に名前を付けることが次の一手を可能にする。二重根号は項ごとには簡単にならないことが多いが、その 2 乗ならしばしば簡単になる。

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   $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ を使って和を 2 乗する。 平方根は 2 乗すればそれぞれ消える：

   $S^2=(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)+2\sqrt{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}$

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   簡単な 2 つの部分を整理する。 和では $\sqrt5$ の項が打ち消し合い、残った根号の中の積は平方の差になる：

   $(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)=6,\qquad (3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=3^2-(\sqrt5)^2=9-5=4$

   この打ち消しこそが、共役の組を選んだ理由のすべてである。

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   $S^2$ を組み立てる。

   $S^2=6+2\sqrt4=6+2\cdot 2=10$

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   正しい符号の根を選ぶ。 2 乗すると偽の符号が入り込みうるので、もとの式から決める。$S$ は 2 つの正の数の和なので $S>0$ であり

   $S=\sqrt{10}$

   となる。数値では $\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}=2.288246+0.874032=3.162278=\sqrt{10}$ である。✓