(∛a + ∛b) を (2 + a/b の立方根 + b/a の立方根) で割った式を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   置き換えて根号を隠す。

   $x=\sqrt[3]{a},\qquad y=\sqrt[3]{b},$

   とおくと $\sqrt[3]{a/b}=x/y$、$\sqrt[3]{b/a}=y/x$ となる。式は $x$ と $y$ についての純粋な有理式になる：

   $\frac{x+y}{2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}.$

   この置き換えこそがこの問題の狙いである。無関係に見える 3 乗根が、実は $x$ と $y$ にすぎない。

2. 2

   分母を $xy$ の上にまとめる。

   $2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{2xy+x^{2}+y^{2}}{xy}.$

3. 3

   その分数の分子が平方であることを見抜く。 $x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$ なので

   $2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{(x+y)^{2}}{xy}.$

   もとの式の分子に乗っていたのと同じ因数 $x+y$ が、いまや下に 2 乗で現れた。これが約分を可能にする。

4. 4

   分数をひっくり返して割る。

   $\frac{x+y}{\dfrac{(x+y)^{2}}{xy}}=(x+y)\cdot\frac{xy}{(x+y)^{2}}=\frac{xy}{x+y}.$

5. 5

   もとに戻して確かめる。 $xy=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$、$x+y=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ より

   $\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}},$

   となり、$a\ne0$、$b\ne0$、$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\ne0$ である限り成り立つ。$a=8$、$b=27$ で試すと $x=2$、$y=3$ であり、もとの分母は $2+\tfrac23+\tfrac32=\tfrac{25}{6}$、分子は $5$ なので $6/5$ になる。公式のほうも $xy/(x+y)=6/5$ を与える。