式の簡約計算機

代数式を簡約するとは、値を変えずに、より短く、すっきりした、または標準的な形に書き直すことです。簡約された形は読みやすく、評価しやすく、その後の計算で使いやすくなります。

一般的な簡約の操作:

• 同類項をまとめる: $3x + 5x = 8x$
• 共通因数を約分する: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = x - 3$（$x \neq -3$ のとき）
• 指数を下げる: $\frac{x^5}{x^2} = x^3$
• 展開してまとめる: $(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1$

簡約された式は、定義域内のすべての値について元の式と同値です。「最も簡単な形」は文脈によって異なる場合があることに注意してください。因数分解形が簡単なこともあれば、展開形が簡単なこともあります。

簡約は、方程式を解く、極限を評価する、関数を積分する、数学的結果を明確に伝えるといった場面で使われる代数の中核的なスキルです。

1. 同類項をまとめる

同じ変数と指数を持つ項をグループ化し、それらの係数を足します。

例: $3x^2 + 2x - x^2 + 5x - 7 = 2x^2 + 7x - 7$

2. 指数法則を適用する

重要な法則:

• $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$
• $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
• $(x^a)^b = x^{ab}$

例: $\frac{x^5 \cdot x^2}{x^4} = x^{5+2-4} = x^3$

3. 因数分解して約分する

有理式では、分子と分母を因数分解し、共通因数を約分します。

例: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x - 3$（$x \neq -3$ のとき）

4. 積を展開する

分配または特別な公式を使います。

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

例: $(2x+3)^2 - 4x^2 = 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 = 12x + 9$

5. 分母を有理化する

共役を掛けて分母から根号をなくします。

$\frac{1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

6. 繁分数を簡約する

分子と分母に、内側のすべての分数の LCD を掛けます。

• 因数ではなく項を約分する: $\frac{x + 3}{x + 5} \neq \frac{3}{5}$。分子全体と分母全体の共通因数しか約分できません。
• 定義域の制約を忘れる: $\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}$ から $(x+3)$ を約分するとき、元の式では $x \neq -3$ であることに注意します。
• 指数の計算ミス: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ であり、$x^6$ ではありません。また $\frac{x^5}{x^2} = x^3$ であり、$x^{2.5}$ ではありません。
• 和に指数を分配する: $(x + y)^2 \neq x^2 + y^2$。正しい展開は $x^2 + 2xy + y^2$ です。
• 早く止めすぎる: 結果がさらに簡約できないか必ず確認します（例: 残った GCF を括り出す）。