木を三角形に植える。1 段目に 1 本、2 段目に 2 本、3 段目に 3 本、というように 3003 本すべてを使い切るまで植える。段はいくつあるか。

Step-by-step solution

1. 1

   等差数列であることを見抜く。 各段の本数は初項 $u_1=1$、公差 $d=1$ の等差数列 $1,2,3,\dots,n$ をなすので、木の総数は三角数 $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$ である。

2. 2

   和を手持ちの本数と等しく置く。 $\frac{n(n+1)}{2}=3003\quad\Longrightarrow\quad n^2+n-6006=0$

3. 3

   2 次方程式を解く。 $n=\frac{-1+\sqrt{1+4\cdot 6006}}{2}=\frac{-1+\sqrt{24025}}{2}=\frac{-1+155}{2}=77$ 判別式 $24025=155^2$ が完全平方であることは、この問題がぴたりと閉じるように作られている証拠である。

4. 4

   負の解を捨てる。 もう一方の解は $n=-78$ であり、段数としては意味をなさないので $n=77$ である。

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   総数を検証する。 $\frac{77\cdot 78}{2}=\frac{6006}{2}=3003$ 本となり、余りなくすべての木を使い切る。答えは A である。